Tenzor

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Tenzor je v matematike objekt, ktorý je zovšeobecnením pojmu vektor. Zatiaľ čo zložky vektora je možné označiť jedným indexom, tenzor môže mať viac indexov, napr. T_{kl \cdots n}.

Ako tenzor T sa označuje súbor reálnych alebo komplexných čísel T_{{i_1}{i_2} \cdots {i_n}} (počet indexov je n), ktoré sa nazývajú zložky (komponenty) tenzoru, ktoré sa pri transformácii súradníc x_i^\prime = \sum_j a_{ij} x_j transformujú nasledujúcim spôsobom.

T_{{i_1}{i_2} \cdots {i_n}}^\prime = \sum_{{k_1}{k_2} \cdots {k_n}} a_{{i_1}{k_1}} a_{{i_2}{k_2}} \cdots a_{{i_n}{k_n}} T_{{k_1}{k_2} \cdots {k_n}}

Ak je n je počet indexov tenzoru T, potom hovoríme o tenzore n-tého rádu.

Časť matematiky, ktorá pri svojej práci používa tenzory, sa označuje ako tenzorový počet. Tenzory sa uplatňujú nielen v matematike, ale aj vo fyzike.

Ak máme napr. dva vektory \mathbf{A}, \mathbf{B}, môžeme z nich vytvoriť tenzor druhého rádu, ktorého zložky budú určené vzťahom T_{ij} = A_i B_j. Tenzorový charakter je možné overiť na základe transformačných pravidiel pre vektory, tzn.

T_{kl}^\prime = A_k^\prime B_l^\prime = (\sum_i a_{ki} A_i)(\sum_j a_{lj} B_j) = \sum_{i,j} a_{ki} a_{lj} A_i B_j = \sum_{i,j} a_{ki} a_{lj} T_{ij}

Špeciálnymi prípadmi tenzorov sú tenzory nultého rádu, ktoré sa označujú ako skaláry a tenzory prvého rádu, teda vektory.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]