Topologický priestor

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Štyri príklady topologických priestorov na množine {1,2,3} a dva príklady štruktúr na tejto množine, ktoré nie sú topologické priestory. Príklad znázornený vľavo dole nie je topologický priestor, pretože v systéme podmnožín \tau sú síce množiny {2} a {3}, ale ich zjednotenie {2,3} chýba. Príklad vpravo dole nie je topologický priestor, pretože chýba množina {2}, ktorá je prienikom množín {1,2} a {2,3}.

Topologický priestor je matematická štruktúra, ktorá umožňuje formalizovať a zovšeobecniť koncepty ako konvergencia, spojitosť, či kompaktnosť. Tieto sú definované na základe vzťahov medzi množinami[1], narozdiel od metrických priestorov, kde sa definujú pomocou vzdialenosti. Topologické priestory sa ako formalizácia vyskytujú takmer vo všetkých oblastiach matematiky. Sú predmetom štúdia topológie.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Klasická definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Topologický priestor je usporiadaná dvojica (X, \tau), kde X je množina a \tau, ktorej prvky sa nazývajú aj otvorené množiny[2], je množina podmnožín X, pre ktorú sú splnené nasledujúce tri podmienky:

  1. Prázdna množina a množina X sú otvorené, teda
    \emptyset \in \tau \qquad X \in \tau .
  2. Zjednotenie ľubovoľného počtu otvorených množín je otvorená množina, teda pre každé S \subseteq \tau:
    \bigcup_{Y \in S} Y \in \tau .
  3. Prienik každých dvoch otvorených množín je otvorená množina, teda
    A \in \tau\ \land\ B \in \tau \Rightarrow A \cap B \in \tau .

Tretia podmienka je ekvivalentná s podmienkou, ktorá hovorí, že prienik ľubovoľného konečného počtu otvorených množín je otvorená množina.

Množina \tau sa nazýva aj topológia na množine X, toto pomenovanie má však odlišný význam ako názov topológia v zmysle vedy o topologických priestoroch. Prvky množiny X sa zvyčajne nazývajú body, podmnožiny X patriace do \tau sa nazývajú otvorené množiny, každý komplement otvorenej množiny sa nazýva uzavretá množina.

Je dôležité si uvedomiť, že množina uzavretých množín v X nie je to isté ako \tau^C. Množina totiž môže byť otvorená aj uzavretá súčasne. Takýmito množinami sú napríklad \emptyset alebo X, keďže sú komplementárne (pracuje sa s univerzom X) a zároveň otvorené (z definície topologického priestoru).

Definícia pomocou uzavretých množín[upraviť | upraviť zdroj]

Použitím de Morganových zákonov je možné jednoduchým spôsobom odvodiť ekvivalentnú definíciu topologického priestoru, ktorá namiesto podmienok na otvorené množiny kladie podmienky na uzavreté množiny. Teda je možné povedať, že topologický priestor je usporiadaná dvojica (X, \tau), kde X, \tau, otvorené a uzavreté množiny sú definované rovnako ako vyššie, a kde platí:

  1. Prázdna množina aj množina X sú uzavreté.
  2. Zjednotenie ľubovoľných dvoch uzavretých množín je uzavretá množina.
  3. Prienik ľubovoľného počtu uzavretých množín je uzavretá množina.

Definícia pomocou Kuratowského axióm uzavretosti[upraviť | upraviť zdroj]

Inou možnosťou definície topologického priestoru (ktorá je však ekvivalentná s klasickou definíciou) je definícia topologickej štruktúry pomocou sady axióm, s ktorou prišiel poľský matematik Kazimierz Kuratowski. Podľa tejto definície je topologický priestor usporiadaná dvojica (X,\textrm{cl}), kde X je množina a

\operatorname{cl}: \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X)

je operátor uzáveru, pre ktorý sú splnené nasledujúce podmienky (Kuratowského axiómy):

  1. Uzáver danej množiny A musí obsahovať celú množinu A, teda:
     A \subseteq \textrm{cl}(A) .
  2. Uzáver je idempotentný, teda platí
     \operatorname{cl}(\textrm{cl}(A)) = \textrm{cl}(A) .
  3. Uzáver zjednotenia je zjednotenie uzáverov, čiže:
    \textrm{cl}(A \cup B) = \textrm{cl}(A) \cup \textrm{cl}(B) .
  4. Prázdna množina je sama o sebe uzavretá, čiže:
    \textrm{cl}(\emptyset) = \emptyset .

Definícia pomocou axióm susednosti[upraviť | upraviť zdroj]

Ďalšou ekvivalentnou definíciou topologického priestoru, s ktorou prišiel Felix Hausdorff[3], je jeho definícia pomocou tzv. axióm susednosti. Podľa tejto definície je topologický priestor usporiadaná dvojica (X, \mathcal{O}), kde X je množina a \mathcal{O} = \{\mathcal{O}_x\ |\ x \in X\} je trieda množín \mathcal{O}_x, kde každé \mathcal{O}_x je množina podmnožín X nazývaných okolie bodu x \in X, pričom platia nasledujúce podmienky (axiómy susednosti):

  1. Každé okolie bodu x obsahuje bod x a X je okolím každého bodu x, teda:
    \forall x \in X\ \forall O \in \mathcal{O}_x: x \in O, \qquad \forall x \in X: X \in \mathcal{O}_x .
  2. Ak nejaká množina V \subseteq X obsahuje okolie bodu x, potom je sama okolím bodu x. Teda,
    \forall V \in \mathcal{P}(X)\ \forall x \in X: (\exists O \in \mathcal{P}(x): O \in \mathcal{O}_x\ \land\ O \subseteq V) \Rightarrow (V \in \mathcal{O}_x) .
  3. Prienik ľubovoľných dvoch okolí bodu x je okolie bodu x:
    \forall x \in X\ \forall A,B \in \mathcal{O}_x: A \cap B \in \mathcal{O}_x .
  4. Každé okolie bodu x obsahuje iné okolie bodu x, ktoré je okolím všetkých svojich bodov. Teda,
    \forall x \in X\ \forall O \in \mathcal{O}_x\ \exists O' \in \mathcal{O}_x\ \forall y \in O': O' \in \mathcal{O}_y .

Príklady topologických priestorov[upraviť | upraviť zdroj]

Jednoduché príklady[upraviť | upraviť zdroj]

  1. Množina X = {1, 2, 3, 4} a na nej definovaná topológia \tau = {{}, {1, 2, 3, 4}}, ktorá obsahuje jediné dve podmnožiny X, ktoré sú požadované definíciou, tvoria topologický priestor. Takáto topológia \tau sa nazýva aj triviálna topológia alebo tiež antidiskrétna topológia[4].
  2. Množina X = {1, 2, 3, 4} a \tau = {{}, {2}, {1,2}, {2,3}, {1,2,3}, {1,2,3,4}} tvoria topologický priestor.
  3. Množina X = {1, 2, 3, 4} spoločne s topológiou \tau = \mathcal{P}(X) (potenčná množina množiny X) tiež tvoria topologický priestor. Takto definovaná topológia \tau sa nazýva diskrétna topológia.
  4. Množina X = \mathbb{Z} všetkých celých čísel a množina \tau rovná zjednoteniu všetkých konečných podmnožín \mathbb{Z} a množiny \mathbb{Z} samotnej, netvoria topologický priestor, keďže napríklad zjednotenie všetkých konečných podmnožín celých čísel neobsahujúcich číslo 0 nie je konečná množina, ale nie je to ani množina \mathbb{Z}.

Sierpińského priestor[upraviť | upraviť zdroj]

Bližšie informácie v hlavnom článku: Sierpińského priestor

Najjednoduchším príkladom topologického priestoru, ktorý nie je ani triviálny, ani diskrétny je tzv. Sierpińského priestor, pomenovaný podľa Wacława Sierpińského. Ide o topologický priestor na množine {0,1}, ktorého otvorené množiny

\{\varnothing,\{0\},\{0,1\}\},

a ktorého uzavreté množiny

\{\varnothing,\{1\},\{0,1\}\}.

Jednoprvková množina {0} je uzavretá a nie otvorená, jednoprvková množina {1} je otvorená a nie uzavretá.

Hausdorffove priestory[upraviť | upraviť zdroj]

Bližšie informácie v hlavnom článku: Hausdorffov priestor

Hausdorffov priestor, pomenovaný podľa Felixa Hausdorffa, nazývaný aj separabilný priestor alebo T2 priestor, je taký topologický priestor, v ktorom pre ľubovoľné dva body existuje dvojica disjunktných okolí. Každý metrický priestor je Hausdorffov priestor.

Základné pojmy teórie topologických priestorov[upraviť | upraviť zdroj]

Okolie bodu[upraviť | upraviť zdroj]

Bližšie informácie v hlavnom článku: Okolie (matematika)

Množina V \subseteq X sa nazýva okolím bodu x \in X v topologickom priestore (X,\tau), ak existuje množina U \in \tau taká, že x \in U \subseteq V. Podľa toho, či je okolie V bodu x otvorená alebo uzavretá množina, nazýva sa V otvoreným alebo uzavretým okolím bodu x.

Vnútro množiny[upraviť | upraviť zdroj]

Zelenou vyfarbená plocha ilustruje množinu S \subseteq \mathbb{R}^2, na ktorej je štandardným spôsobom definovaná topológia. Bod x \in S patrí do vnútra množiny S, pretože existuje jeho okolie také, že je celé v S. Naopak, bod y do vnútra S nepatrí, keďže takéto okolie neexistuje. Bod y patrí do hranice množiny S.

Neformálne možno povedať, že vnútro množiny A tvoria práve všetky body z A, ktoré neležia "na jej kraji," ale "vnútri." Je však dôležité, že aj keď je takéto vysvetlenie intuitívne (napr. z klasickej topológie na množine \mathbb{R}^2), vo všeobecnosti je bez formálnej definície pomerne problematické rozhodnúť o tom, čo je kraj a čo vnútro množiny.

Formálne, vnútro množiny A \subseteq X (označované int(A) alebo alebo ) v topologickom priestore (X,\tau) je množina všetkých bodov x z A, pre ktoré existuje okolie, ktoré je celé v A. Teda,

\operatorname{int}(A) = \{x \in A\ |\ \exists U \in \tau: x \in U \subseteq A \} .

Uzáver množiny[upraviť | upraviť zdroj]

Uzáver množiny A, označovaný \textrm{cl}(A) alebo \bar{A}, je najmenšia uzavretá množina B, pre ktorú platí A \subseteq B . To je ekvivalentné s nasledujúcou formálnou definíciou: uzáver množiny A v topologickom priestore (X,\tau) je množina všetkých bodov x \in X, ktoré nepatria do vnútra množiny X \setminus A. Čiže,

\operatorname{cl}(A) = \{x \in X\ |\ x \notin \operatorname{int}(X \setminus A)\} .

Ak rozpíšeme definíciu vnútra množiny a výsledný logický výraz vhodne upravíme, dostaneme:

\operatorname{cl}(A) = \{x \in X\ |\ \forall U\in\tau: U \subseteq (X \setminus A) \Rightarrow x \notin U \} .

Táto definícia uzáveru predpokladá klasickú definíciu topologického priestoru. Zjavne, pokiaľ sa použije definícia pomocou Kuratowského axióm uzavretosti, je uzáver definovaný len ako zobrazenie spĺňajúce stanovené axiómy.

Hranica množiny[upraviť | upraviť zdroj]

Hranica množiny A v topologickom priestore (X,\tau), označovaná bd(A) alebo \partial A, je množina všetkých bodov, ktoré patria do uzáveru množiny A, ale nepatria do jej vnútra. Teda,

\operatorname{bd}(A) = \operatorname{cl}(A) \setminus \operatorname{int}(A) .

Husté a riedke množiny[upraviť | upraviť zdroj]

Množina A \subseteq X sa nazýva hustá v topologickom priestore (X,\tau), ak jej uzáver je celá množina X (komplementárna množina neobsahuje žiadne vnútorné body), čiže ak platí množinový vzťah

\operatorname{cl}(A) = X .

Množina B \subseteq X sa nazýva riedka v topologickom priestore (X,\tau), ak vnútro jej uzáveru je prázdna množina, čiže ak platí

\operatorname{int}(\operatorname{cl} (B)) = \emptyset .

Hromadné a izolované body[upraviť | upraviť zdroj]

Bližšie informácie v hlavnom článku: Hromadný bod

Pre definíciu pojmov ako spojité zobrazenie, či limita, je kľúčový pojem hromadného bodu. Bod x \in X sa nazýva hromadný bod množiny A \subseteq X v topologickom priestore (X,\tau), ak každé rýdze okolie bodu x (t. j. okolie bodu x bez bodu x) má neprázdny prienik s množinou A.

Bod x \in A sa nazýva izolovaný bod množiny A \subseteq X v topologickom priestore (X,\tau), ak existuje okolie U \in \tau, x \in U také, že pre zodpovedajúce rýdze okolie platí

(U \setminus \{x\}) \cap A = \emptyset .

Báza topologického priestoru[upraviť | upraviť zdroj]

Bližšie informácie v hlavnom článku: Báza topologického priestoru

Báza topologického priestoru (X, \tau) je taká množina \tau' otvorených množín z \tau, že všetky otvorené množiny (prvky \tau) sa dajú zapísať ako zjednotenie množín z bázy \tau'. Čiže množina \tau' \subseteq \tau je báza topologického priestoru (X, \tau) práve vtedy, keď platí

\forall U \in \tau\ \exists T \subseteq \tau' : U = \bigcup_{V \in T} V .

Báza topologického priestoru (X,\tau) sa niekedy nazýva aj báza topológie \tau.

Spojité zobrazenia v topologických priestoroch[upraviť | upraviť zdroj]

Spojitosť funkcie f: X \rightarrow Y v bode x.

Topologické priestory umožňujú definovať pojem spojitého zobrazenia, pričom definícia je zovšeobecnením klasických definícií, napríklad pre funkcie jednej alebo viacerých reálnych premenných.

Zobrazenie f: X \rightarrow Y medzi topologickými priestormi (X,\tau) a (Y,\tau') je spojité, ak pre každú otvorenú množinu z Y (teda ľubovoľnú množinu z \tau') je jej inverzný obraz zobrazením f otvorená množina v X (teda prvok \tau). Teda, formálne, f: X \rightarrow Y je spojité, ak platí

\forall V \in \tau': f^{-1}(V) \in \tau,

kde f-1(V) je definované ako

f^{-1}(V) = \{x \in X\ |\ f(x) \in V \}.

Priame použitie takejto definície môže byť problematické, preto sa definuje príbuzný pojem - spojitosť zobrazenia v bode. Zobrazenie f: X \rightarrow Y medzi topologickými priestormi (X,\tau) a (Y,\tau') je spojité v bode x \in X, ak pre každé okolie V bodu f(x) v priestore (Y,\tau') existuje okolie U bodu x v priestore (X,\tau) také, že f(U) \subseteq V.

Homeomorfizmus[upraviť | upraviť zdroj]

Bližšie informácie v hlavnom článku: Homeomorfizmus

Homeomorfizmus sa definuje ako spojité bijektívne zobrazenie medzi topologickými priestormi (X,\tau) a (Y,\tau'), ktoré má spojité inverzné zobrazenie. Homeomorfizmus je izomorfizmus v kategórii topologických priestorov, teda je to zobrazenie zachovávajúce všetky topologické vlastnosti daného priestoru. Ide teda o druh topologickej ekvivalencie.

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. "topological space." Encyclopædia Britannica. 2010. Encyclopædia Britannica Online. 10. jún 2010.
  2. Jänich, K.: Topology. Springer-Verlag, 1984, str. 5.
  3. Jänich, K.: Topology. Springer-Verlag, 1984, str. 7.
  4. Chalmovianský, P.: Topológia a funkcionálna analýza.

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Jänich, K.: Topology. Springer-Verlag, 1984.
  • Kelley, J.: General Topology. Springer, 1975.
  • Sutherland, W.: Introduction to Metric and Topological Spaces. Oxford University Press, 2009.
  • Willard, S.: General Topology. Addison-Wesley, 2004.
  • Lawson, T.: Topology: A Geometric Approach. Oxford University Press, 2006.

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]