Usporiadané pole

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Usporiadané pole je v matematike pole, na ktorom je definované totálne usporiadanie s istými vlastnosťami. Tento koncept zaviedol Emil Artin v roku 1927.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Pole (F, +, *) s totálnym usporiadaním ≤ na F je nazývame usporiadaným poľom, ak toto usporiadanie spĺňa nasledovné vlastnosti (0 označuje neutrálny prvok aditívnej operácie poľa):

  • Ak ab, potom a + cb + c
  • Ak 0 ≤ a a 0 ≤ b, potom 0 ≤ a b

Prvky a poľa, pre ktoré platí 0 ≤ a, nazývame nezápornými.

Z tejto definície vyplýva, že pre každé a, b, c, d v F platí:

  • Buď −a ≤ 0 ≤ a alebo a ≤ 0 ≤ −a,
  • Ak ab a cd, potom a + cb + d (môžeme "sčítavať nerovnosti"),
  • Ak ab a 0 ≤ c, potom acbc (môžeme "násobiť nerovnosti kladnými prvkami").

Vlastnosti usporiadaných polí[upraviť | upraviť zdroj]

  • 1 je nezáporná. (Dôkaz: buď 1 je nezáporná alebo −1 je nezáporná. Ak −1 je nezáporná, tak (−1)(−1) je nezáporná, čo je spor.)
  • Usporiadané pole má charakteristiku 0. Konečné polia tak nemôžu byť usporiadané.
  • Druhé mocniny sú nezáporné. 0 ≤ a2 pre všetky a v F.

Každé podpole usporiadaného poľa je takisto usporiadané pole (s indukovaným usporiadaním). Najmenšie podpole je izomorfné s poľom racionálnych čísel. Ak každý prvok usporiadané poľa leží medzi dvomi inými jeho prvkami, hovoríme, že pole je archimedovské; napríklad pole reálnych čísel je archimedovské, ale každé hyperreálne pole je nearchimedovské.

Príklady usporiadaných polí[upraviť | upraviť zdroj]

Príkladmi usporiadaných polí sú polia: