Vektorový súčin

Vektorový súčin je v matematike označenie binárnej operácie medzi dvoma vektormi v trojrozmernom vektorovom priestore. Výsledkom tejto operácie je vektor (na rozdiel od skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je pri súčine dvoch vektorov skalár). Výsledný vektor je kolmý na obidva pôvodné vektory.

Označenie

Vektorový súčin vektorov $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ sa zvyčajne označuje jedným z nasledujúcich spôsobov:

• $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$
• $\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$ - používaný vo frankofónnych krajinách
• $[\mathbf{a}\mathbf{b}]$ - používaný v Rusku
• $[\mathbf{a},\mathbf{b}]$

Definícia

Vektorový súčin vektorov a a b je definovaný ako vektor kolmý k vektorom a a b s veľkosťou rovnou ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory spolu tvoria:

$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \theta$

kde θ je uhol zvieraný vektormi a a b (0° ≤ θ ≤ 180°) a n je jednotkový vektor kolmý k nim. Takéto jednotkové vektory však existujú dva; voľba závisí na tom, či je súradný systém definovaný ako pravotočivý alebo ľavotočivý. V pravotočivom súradnom systéme možno použiť pravidlo pravej ruky: ak sú vektory a a b znázornené ukazovákom a prostredníkom pravej ruky, potom vektorový súčin a × b má smer vztýčeného palca.

Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Ak máme vektorový súčin $\mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}$, tak zložky vektora c možno určiť ako

$c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2$

$c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3$

$c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1$

Pomocou Levi-Civitovho symbolu možno zložky vektorového súčinu zapísať ako

$c_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k$

Zložky vektorového súčinu sa dajú chápať ako prvky antisymetrického tenzora druhého stupňa

$d_{ij} = a_i b_j - a_j b_i$

Počet nezávislých zložiek takéhoto antisymetrického tenzora sa rovná číslu tri iba v trojrozmernom priestore, preto možno uskutočniť priradenie

$d_{23} = -d_{32} = c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2$

$d_{31} = -d_{13} = c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3$

$d_{12} = -d_{21} = c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1$

$d_{11} = d_{22} = d_{33} = 0$

Tento tenzorový zápis umožňuje použitie vektorového súčinu aj v priestoroch s dimenziou rôznou od 3.

Vlastnosti

• Vektorový súčin je antikomutatívny, čiže

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = - \mathbf{v} \times \mathbf{u}$

• Vynásobením vektorového súčinu číslom a dostaneme

$a (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = (a \mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (a \mathbf{v})$

• Platí distributívny zákon

$\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$

• Ak pre dva nenulové vektory $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ je ich vektorový súčin nulový, čiže $\mathbf{u} \times \mathbf{B} = \mathbf{0}$, sú vektory $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ rovnobežné.

• Ak vyjadríme bázu trojrozmerného vektorového priestoru pomocou jednotkových vektorov ortogonálnej bázy i, j, k, tak

$\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$

$\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$

$\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$

• V uvedenej báze možno vektorový súčin vektorov u, v zapísať pomocou determinantu ako

$\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$

Výpočet

Súradnice vektorového súčinu dvoch vektorov možno vypočítať bez určovania uhla, ktorý vektory zvierajú: Nech

a = [a₁, a₂, a₃]

a

b = [b₁, b₂, b₃].

Potom

a × b = [a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁].

Použitie

Vektorový súčin sa často využíva v elektromagnetizme, napr. na výpočet Lorentzovej sily. Ďalším príkladom je moment sily $\mathbf{M}$, ktorý je definovaný $\mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ kde $\mathbf{r}$ je polohový vektor pôsobiska sily.