Vektorový súčin

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Vektorový súčin je v matematike označenie binárnej operácie medzi dvoma vektormi v trojrozmernom vektorovom priestore. Výsledkom tejto operácie je vektor (na rozdiel od skalárneho súčinu, ktorého výsledkom je pri súčine dvoch vektorov skalár). Výsledný vektor je kolmý na obidva pôvodné vektory.

Označenie[upraviť | upraviť zdroj]

Vektorový súčin vektorov \mathbf{a}, \mathbf{b} sa zvyčajne označuje jedným z nasledujúcich spôsobov:

  • \mathbf{a} \times \mathbf{b}
  • \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} - používaný vo frankofónnych krajinách
  • [\mathbf{a}\mathbf{b}] - používaný v Rusku
  • [\mathbf{a},\mathbf{b}]

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Vektorový súčin vektorov a a b je definovaný ako vektor kolmý k vektorom a a b s veľkosťou rovnou ploche kosodĺžnika, ktorý oba vektory spolu tvoria:

\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{n} \left| \mathbf{a} \right| \left| \mathbf{b} \right| \sin \theta

kde θ je uhol zvieraný vektormi a a b (0° ≤ θ ≤ 180°) a n je jednotkový vektor kolmý k nim. Takéto jednotkové vektory však existujú dva; voľba závisí na tom, či je súradný systém definovaný ako pravotočivý alebo ľavotočivý. V pravotočivom súradnom systéme možno použiť pravidlo pravej ruky: ak sú vektory a a b znázornené ukazovákom a prostredníkom pravej ruky, potom vektorový súčin a × b má smer vztýčeného palca.

Vektorový súčin možno definovať aj bez pomoci uhla, ktorý oba vektory určujú. Ak máme vektorový súčin \mathbf{c} = \mathbf{a} \times \mathbf{b}, tak zložky vektora c možno určiť ako

c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2
c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3
c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1

Pomocou Levi-Civitovho symbolu možno zložky vektorového súčinu zapísať ako

c_i = \varepsilon_{ijk} a_j b_k

Zložky vektorového súčinu sa dajú chápať ako prvky antisymetrického tenzora druhého stupňa

d_{ij} = a_i b_j - a_j b_i

Počet nezávislých zložiek takéhoto antisymetrického tenzora sa rovná číslu tri iba v trojrozmernom priestore, preto možno uskutočniť priradenie

d_{23} = -d_{32} = c_1 = a_2 b_3 - a_3 b_2
d_{31} = -d_{13} = c_2 = a_3 b_1 - a_1 b_3
d_{12} = -d_{21} = c_3 = a_1 b_2 - a_2 b_1
d_{11} = d_{22} = d_{33} = 0

Tento tenzorový zápis umožňuje použitie vektorového súčinu aj v priestoroch s dimenziou rôznou od 3.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

  • Vektorový súčin je antikomutatívny, čiže
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = - \mathbf{v} \times \mathbf{u}
a (\mathbf{u} \times \mathbf{v}) = (a \mathbf{u}) \times \mathbf{v} = \mathbf{u} \times (a \mathbf{v})
\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}
  • Ak pre dva nenulové vektory \mathbf{u}, \mathbf{v} je ich vektorový súčin nulový, čiže \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{0}, sú vektory \mathbf{u}, \mathbf{v} rovnobežné.
  • Ak vyjadríme bázu trojrozmerného vektorového priestoru pomocou jednotkových vektorov ortogonálnej bázy i, j, k, tak
\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}
\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}
\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}
  • V uvedenej báze možno vektorový súčin vektorov u, v zapísať pomocou determinantu ako
\mathbf{u} \times \mathbf{v} = 
\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

Výpočet[upraviť | upraviť zdroj]

Súradnice vektorového súčinu dvoch vektorov možno vypočítať bez určovania uhla, ktorý vektory zvierajú: Nech

a = [a1, a2, a3]

a

b = [b1, b2, b3].

Potom

a × b = [a2b3 − a3b2, a3b1 − a1b3, a1b2 − a2b1].


Použitie[upraviť | upraviť zdroj]

Vektorový súčin sa často využíva v elektromagnetizme, napr. na výpočet Lorentzovej sily. Ďalším príkladom je moment sily \mathbf{M}, ktorý je definovaný \mathbf{M} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} kde \mathbf{r} je polohový vektor pôsobiska sily.