Vietove vzťahy

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Vietove vzťahy (iné názvy: Vietove formuly, Vietove vzorce, zovšeobecnená Vietova veta, súvis medzi koreňmi a koeficientmi algebrickej rovnice) sú vzorce na vyjadrenie súvisu medzi koreňmi polynómu a jeho koeficientmi.

Všeobecný prípad[upraviť | upraviť zdroj]

Vietove vzťahy znejú:

Ak je daný polynóm f(x) = x^n + a_1x^{n-1} + a_2x^{n-2} + ... + a_n,\,\!

a x1, x2, ... xn sú jeho korene (nulové body), potom:

\begin{matrix}
a_1 &=& -(x_1 + x_2 + \ldots + x_n) \\ 
a_2 &=& x_1 x_2 + x_1 x_3 + \ldots + x_1 x_n + x_2 x_3 + \ldots + x_{n-1} x_n \\ 
a_3 &=& -(x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + \ldots + x_{n-2} x_{n-1} x_{n}) \\ 
 & &\ldots \\ 
a_{n-1} &=& (-1)^{n-1} (x_1 x_2 \ldots x_{n-1} + x_1 x_2 \ldots x_{n-2} x_n + \ldots + x_2 x_3...x_n) \\
a_n &=& (-1)^n x_1 x_2 \ldots x_n \end{matrix}.

Príklad: Kvadratická rovnica[upraviť | upraviť zdroj]

Ak je daná všeobecná kvadratická rovnica  ax^2+bx+c=0 , potom:

 x_1+x_2=-\frac{b}{a}
 x_1 x_2=\frac{c}{a}