Wishartovo rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Wishartovo rozdelenie (iné názvy: Wishartovo pravdepodobnostné rozdelenie, Wishartovo rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti. Wishartovo rozdelenie je viacrozmerný analóg \chi^2-rozdelenia alebo, v prípade neceločísleného počtu stupňov voľnosti, gama rozdelenia.

Wishartovo rozdelenie je jedno z rozdelení pravdepodobnosti, ktoré definujeme cez symetrické, nezáporne definitné matice, ktoré vystupujú ako náhodné premenné (tzv. „náhodné matice“). Rozdelenie je veľmi dôležité pri odhadovaní a získavaní odhadov kovariančných matíc vo viacrozmerných štatistických analýzach.

Rozdelenie je pomenované podľa matematika Johna Wisharta, ktorý prvýkrát v roku 1928 toto rozdelenie popísal.[1]

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Majme náhodný výber {\mathbf X_1}, {\mathbf X_2}, \cdots, {\mathbf X_n} z normálneho p-rozmerného rozdelenia s parametrami {\mathbf O} a {\mathbf\Sigma}, teda N_p({\mathbf O}, {\mathbf\Sigma}). Ďalej nech {\mathbf X} je matica typu n  ×  p definovaná nasledovne: {\mathbf X^T} = ({\mathbf X_1}, {\mathbf X_2}, \cdots, {\mathbf X_n}). Potom matica {\mathbf W} definovaná nasledovným vzťahom:

{\mathbf W} = {\mathbf X^T}{\mathbf X}

má Wishartovo rozdelenie s n stupňami voľnosti.

Označenie:

  • {\mathbf W} \sim {\mathbf W_p}({\mathbf\Sigma}, n)

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Pokiaľ položíme kovariančnú maticu {\mathbf\Sigma} = {\mathbf I_p}, tak hovoríme, že Wishartovo rozdelenie má štandardizovaný tvar, teda: W \sim {\mathbf W_p}(I_p, n)

Pre p = 1, teda v prípade 1-rozmerného Wishartovho rozdelenia, sa toto rozdelenie zhoduje s \chi^2-rozdelením s n stupňami voľnosti vynásobeným disperziou, teda:

\operatorname W \sim W_1(\sigma^2, n) \sim \sigma^2\chi^2(n)

Pokiaľ máme maticu {\mathbf W}, ktorá má p-rozmerné Wishartovo rozdelenie s n stupňami voľnosti, teda {\mathbf W} \sim {\mathbf W_p}({\mathbf\Sigma}, n) a maticu {\mathbf A}, ktorá je typu p  ×  q, tak matica {\mathbf B}, ktorú dostaneme prenásobením matice {\mathbf W} zľava aj sprava maticou {\mathbf A}, má tiež Wishartovo rozdelenie s n stupňami voľnosti, ale q-rozmerné a s inou kovariančnou maticou:

{\mathbf B} = {\mathbf A^T}{\mathbf W}{\mathbf A} \sim {\mathbf W_q}({{\mathbf A^T}{\mathbf\Sigma}{\mathbf A}}, n)

Zdroje a referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. WISHART, John. The generalised product moment distribution in samples from a normal multivariate population. Biometrika, 1928, roč. 20A, čís. 1-2, s. 32–52.
  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Viacrozmerné rozdelenie, s. 344 strán.
  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Wishart distribution na anglickej Wikipédii.