Youngova nerovnosť

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Youngova nerovnosť je matematická nerovnosť, ktorá dáva do súvisu súčin dvoch nezáporných čísel a súčet ich mocnín.

Nech a, b \geq 0, p, q \in (1, \infty), p q = p+q. Potom

ab \leq \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q} .

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Pre a = 0 alebo b = 0 je dôkaz triviálny. Pre ostatné hodnoty z konkávnosti logaritmu dostávame

\ln \left(\frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q}\right) \geq {1 \over p} \ln (a^p) + {1 \over q} \ln (b^q) = \ln (a b),

čo vďaka rastúcosti logaritmu implikuje dokazovanú nerovnosť.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroj[upraviť | upraviť zdroj]

  • Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Youngova nerovnost na českej Wikipédii.