Youngova nerovnosť

Youngova nerovnosť je matematická nerovnosť, ktorá dáva do súvisu súčin dvoch nezáporných čísel a súčet ich mocnín.

Nech $a,b\geq 0$, $p,q\in (1,\infty )$, $pq=p+q$. Potom

$ab\leq {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}$ .

Dôkaz

Pre $a=0$ alebo $b=0$ je dôkaz triviálny. Pre ostatné hodnoty z konkávnosti logaritmu dostávame

$\ln \left({\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}\right)\geq {1 \over p}\ln(a^{p})+{1 \over q}\ln(b^{q})=\ln(ab)$,

čo vďaka rastúcosti logaritmu implikuje dokazovanú nerovnosť.

Pozri aj

• Duálny exponent

Zdroj

• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Youngova nerovnost na českej Wikipédii.