Zhodné zobrazenie

Zhodné zobrazenie alebo izometria je izomorfizmus metrických priestorov, ktoré zachováva vzdialenosti. V prípade transformácie nejakého metrického priestoru sa často používa aj termín zhodnosť.

Zhodné zobrazenia sú špeciálnym prípadom podobných zobrazení s koeficientom 1.

Školská definícia

Zobrazenie euklidovského priestoru na seba sa nazýva zhodnosť (pojem zhodné zobrazenie je všeobecnejší pojem ako zhodnosť), ak pre každé dva body (vzory) X,Y a ich obrazy X',Y’ platí: |X,Y| = |X’,Y'|. (Vzdialenosť každých dvoch bodov sa rovná vzdialenosti ich obrazov).

Z definície zhodnosti vyplýva: Zhodnosť zachováva veľkosti uhlov. Zhodnosť zachováva veľkosti obsahov útvarov. Všetky zhodnosti s operáciou skladanie zhodností vytvárajú grupu.

Platí: Každá zhodnosť v euklidovskej rovine (E₂) sa dá zložiť z najviac troch osových súmerností.

Posúvanie (špeciálne - identita) sa dá zložiť z dvoch osových súmerností, ktorých osí sú navzájom rovnobežné. Otáčanie (špeciálne - stredová súmernosť) sa dá zložiť z dvoch osových súmerností, ktorých osí sú navzájom rôznobežné. Posunuté zrkadlenie sa dá zložiť z troch osových súmerností.

Platí: Každá zhodnosť v euklidovskom priestore (E₃) sa dá zložiť z najviac štyroch rovinových súmerností.

Platí (zovšeobecnenie predchádzajúcich tvrdení): Každá zhodnosť v euklidovskom n-rozmernom priestore (E_n) sa dá zložiť z najviac (n+1) súmerností podľa (n-1)-rozmerných podpriestorov (nadrovín).

Prehľad zhodností euklidovského priestoru (až po E₃)

• E₁
  • súhlasné zhodnosti (→ súhlasná (nesprávne - priama) zhodnosť):
    • Identita
    • Posúvanie (translácia)
  • nesúhlasná zhodnosť:
    • Stredová súmernosť
• E₂
  • súhlasné zhodnosti:
    • Identita
    • Posúvanie (translácia)
    • Otáčanie (rotácia)
  • nesúhlasné zhodnosti:
    • Osová súmernosť
    • Posunuté zrkadlenie

• E₃
  • Identita
  • Posunutie (translácia)
  • Otáčanie okolo osi (rotácia)
  • Otáčanie okolo osi a posunutie v smere osi
  • Rovinová súmernosť
  • Posunuté rovinové zrkadlenie (rovinová súmernosť a posunutie v niektorom smere roviny)
  • Rotácia okolo osi o uhol iný ako priamy a rovinová súmernosť s rovinou kolmou na os rotácie
  • Stredová súmernosť

Poznámka: Podľa matematického slovníka sa zobrazenia nazývajú otáčanie, posúvanie a nie otočenie, posunutie.

Externé odkazy

• Duplak, J.: Zobrazenia a Kužeľosečky - Online text zaraďujúci zhodné zobrazenia do širšieho kontextu teórie afinných zobrazení.