Rovnobežník Rovnobežník je štvoruholník , ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné a majú rovnakú dĺžku. Súčet susedných uhlov je 180°.
Rovnobežník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 uhly, ktorých súčet je
2
π
{\displaystyle 2\pi }
a
=
|
A
B
|
=
|
C
D
|
=
c
,
d
=
|
A
D
|
=
|
B
C
|
=
b
.
{\displaystyle a=|AB|=|CD|=c,\qquad d=|AD|=|BC|=b.}
Z toho vyplýva, že aj veľkosť protiľahlých uhlov má rovnakú veľkosť, tzn.
α
=
∠
D
A
B
=
∠
B
C
D
=
γ
,
β
=
∠
A
B
C
=
∠
C
D
A
=
δ
.
{\displaystyle \alpha =\angle DAB=\angle BCD=\gamma ,\qquad \beta =\angle ABC=\angle CDA=\delta .}
Pretože
α
+
β
+
γ
+
δ
=
2
(
α
+
β
)
=
2
π
{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =2(\alpha +\beta )=2\pi }
α
=
π
−
β
.
{\displaystyle \alpha =\pi -\beta .}
Všeobecne má rovnobežník rôznu veľkosť priľahlých strán, t. j.
a
≠
b
{\displaystyle a\neq b}
pravých uhlov , t. j.
α
≠
β
{\displaystyle \alpha \neq \beta }
a
=
b
=
c
=
d
{\displaystyle a=b=c=d}
kosoštvorcom . Ak sú uhly pravé, t. j.
α
=
β
=
γ
=
δ
=
π
/
2
{\displaystyle \alpha =\beta =\gamma =\delta =\pi /2}
obdĺžnikom . Rovnobežník, ktorý je kosoštvorcom a obdĺžnikom zároveň nazývame štvorcom .
Uhlopriečky rovnobežníka sa vzájomne rozpoľujú. Dĺžky uhlopriečok sú:
e
=
|
A
C
|
=
a
2
+
d
2
+
2
a
d
cos
α
=
(
a
+
h
a
cotg
α
)
2
+
h
a
2
,
{\displaystyle e=|AC|={\sqrt {a^{2}+d^{2}+2ad\cos \alpha }}={\sqrt {(a+h_{a}{\mbox{cotg}}\,\alpha )^{2}+h_{a}^{2}}}\,,}
f
=
|
B
D
|
=
a
2
+
d
2
−
2
a
d
cos
α
=
(
a
−
h
a
cotg
α
)
2
+
h
a
2
.
{\displaystyle f=|BD|={\sqrt {a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha }}={\sqrt {(a-h_{a}{\mbox{cotg}}\,\alpha )^{2}+h_{a}^{2}}}\,.}
Obsah rovnobežníka je rovný:
S
=
a
h
a
=
b
h
b
=
a
b
sin
α
{\displaystyle S=ah_{a}=bh_{b}=ab\sin \alpha }
kde
a
=
|
A
B
|
{\displaystyle a=|AB|}
b
=
|
A
D
|
{\displaystyle b=|AD|}
h
a
{\displaystyle h_{a}}
A
B
{\displaystyle AB}
h
b
{\displaystyle h_{b}}
A
D
{\displaystyle AD}
α
{\displaystyle \alpha }
Ak sú vrcholy
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
A
=
(
x
A
,
y
A
)
{\displaystyle A=(x_{A},y_{A})}
B
=
(
x
B
,
y
B
)
{\displaystyle B=(x_{B},y_{B})}
absolútnej hodnote determinantu zostaveného zo súradníc ľubovoľných troch vrcholov takto:
S
=
|
det
(
x
B
−
x
A
x
D
−
x
A
y
B
−
y
A
y
D
−
y
A
)
|
=
|
(
x
B
y
D
−
x
D
y
B
)
−
(
x
A
y
D
−
x
D
y
A
)
+
(
x
A
y
B
−
x
B
y
A
)
|
.
{\displaystyle S=\left|\det \left({\begin{array}{cc}x_{B}-x_{A}&x_{D}-x_{A}\\y_{B}-y_{A}&y_{D}-y_{A}\end{array}}\right)\right|=|(x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})-(x_{A}y_{D}-x_{D}y_{A})+(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A})|.}
Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol
A
{\displaystyle A}
A
=
(
0
,
0
)
{\displaystyle A=(0,0)}
S
=
|
x
B
y
D
−
x
D
y
B
|
.
{\displaystyle S=|x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B}|.}
Úplne analogicky možno spočítať objem ľubovolného kvádru , resp. nadobjem ľubovolného
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
Ak sú vrcholy
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle A,B,C,D}
A
=
(
x
A
,
y
A
,
z
A
)
{\displaystyle A=(x_{A},y_{A},z_{A})}
B
=
(
x
B
,
y
B
,
z
B
)
{\displaystyle B=(x_{B},y_{B},z_{B})}
a
=
(
x
B
−
x
A
,
y
B
−
y
A
,
z
B
−
z
A
)
,
b
=
(
x
D
−
x
A
,
y
D
−
y
A
,
z
D
−
z
A
)
,
{\displaystyle \mathbf {a} =(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},z_{B}-z_{A}),\qquad \mathbf {b} =(x_{D}-x_{A},y_{D}-y_{A},z_{D}-z_{A}),}
je obsah rovnobežníka rovný euklidovskej norme (dĺžke) vektora
a
×
b
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} }
×
{\displaystyle \times }
vektorový súčin dvoch vektorov. Teda:
S
=
‖
a
×
b
‖
2
=
(
(
a
×
b
)
⋅
(
a
×
b
)
)
1
/
2
{\displaystyle S=\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|_{2}={\Big (}(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} ){\Big )}^{1/2}}
kde „
⋅
{\displaystyle \,\cdot \,}
skalárny súčin dvoch vektorov.
Ak majú smerové vektory nulové zložky v smere osi
z
{\displaystyle z}
a
=
(
x
B
−
x
A
,
y
B
−
y
A
,
0
)
,
b
=
(
x
D
−
x
A
,
y
D
−
y
A
,
0
)
,
{\displaystyle \mathbf {a} =(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},0),\qquad \mathbf {b} =(x_{D}-x_{A},y_{D}-y_{A},0),}
potom:
a
×
b
=
(
0
,
0
,
(
x
B
y
D
−
x
D
y
B
)
−
(
x
A
y
D
−
x
D
y
A
)
+
(
x
A
y
B
−
x
B
y
A
)
)
,
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\Big (}0,0,(x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})-(x_{A}y_{D}-x_{D}y_{A})+(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}){\Big )},}
čím dostaneme práve vzťah na výpočet obsahu rovnobežníka v rovine.
Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol
A
{\displaystyle A}
A
=
(
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle A=(0,0,0)}
a
×
b
=
(
y
B
z
D
−
y
D
z
B
,
x
D
z
B
−
x
B
z
D
,
x
B
y
D
−
x
D
y
B
)
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(y_{B}z_{D}-y_{D}z_{B},x_{D}z_{B}-x_{B}z_{D},x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})}
vo všeobecnom prípade , respektíve:
a
×
b
=
(
0
,
0
,
x
B
y
D
−
x
D
y
B
)
{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =(0,0,x_{B}y_{D}-x_{D}y_{B})}
v prípade, že smerové vektory majú navyše nulové zložky v smere osi
z
{\displaystyle z}
Zovšeobecnením vektorového súčinu do
n
{\displaystyle n}
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
n
{\displaystyle n}
(
n
−
1
)
{\displaystyle (n-1)}
n
{\displaystyle n}
Ak je rovnobežník daný dvoma postrannými vektormi v všeobecnom reálnom
n
{\displaystyle n}
a
=
(
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
)
,
b
=
(
b
1
,
b
2
,
b
3
,
…
,
b
n
)
,
{\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{n}),\qquad \mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3},\ldots ,b_{n}),}
potom jeho obsah je daný vzťahom:
S
=
‖
a
‖
2
2
‖
b
‖
2
2
−
⟨
a
,
b
⟩
2
=
(
(
a
⋅
a
)
(
b
⋅
b
)
−
(
a
⋅
b
)
2
)
1
/
2
,
{\displaystyle S={\sqrt {\|\mathbf {a} \|_{2}^{2}\|\mathbf {b} \|_{2}^{2}-\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle ^{2}}}={\Big (}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}{\Big )}^{1/2},}
kde „
⟨
,
⟩
{\displaystyle \langle \,,\,\rangle }
⋅
{\displaystyle \,\cdot \,}
dosadením:
a
=
(
x
B
−
x
A
,
y
B
−
y
A
,
0
,
…
,
0
)
,
b
=
(
x
D
−
x
A
,
y
D
−
y
A
,
0
,
…
,
0
)
,
{\displaystyle \mathbf {a} =(x_{B}-x_{A},y_{B}-y_{A},0,\ldots ,0),\qquad \mathbf {b} =(x_{D}-x_{A},y_{D}-y_{A},0,\ldots ,0),}
opäť dostávame známy vzťah pre obsah rovnobežníka v rovine.
Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Rovnoběžník na českej Wikipédii.
