Podmnožina

Podmnožina množiny $A$ je taká množina $B$ ktorá obsahuje iba prvky množiny $A$. Alternatívne, $B$ je podmnožinou $A$, ak je každý prvok $x$ z množiny $B$ súčasne aj prvkom množiny $A$. To že $A$ je podmnožinou $B$ sa symbolicky zapisuje

$A\subseteq B$.

Podmnožina $B$ množiny $A$ je vlastná podmnožina ak existuje aspoň jedeno $x$ v množine $A$ také, že $x\notin B$. To že $A$ je vlastná podmnožina množiny $B$ sa zapisuje

$A\subset B$.

Ak sa pracuje s podmnožinami nejakej pevne zvolenej základnej množiny $U$, je vzťah "byť podmnožinou" binárna relácia na systéme všetkých podmnožín $U$. Tejto relácii sa hovorí relácia inklúzie alebo jednoducho inklúzia. Vzťahu "byť vlastnou podmnožinou" sa hovorí relácia ostrej inklúzie alebo jednoducho ostrá inklúzia.

Vlastnosti

• prázdna množina je podmnožinou každej množiny.
• každá množina je svojou vlastnou podmnožinou. Čiže inklúzia je reflexívna relácia.
• ak $A\subseteq B$ a $B\subseteq A$, tak $\textstyle A=B$. Čiže, inklúzia je antisymetrická relácia.
• ak $A\subseteq B$ a $B\subseteq C$, tak $A\subseteq C$. Čiže, inklúzia je tranzitívna relácia.
• Z predchádzajúcich troch bodov vyplýva, že inklúzia je relácia usporiadania.
• ak $A\subseteq B$, tak $A\cap B=A$.
• $N\subset Z\subset Q\subset R\subset C$