Hausdorffova miera

Hausdorffova miera (ďalej označena ${\mathbf {H} }^{s}$) je "dolnodimenzionalnou" mierou na $\mathbb {R} ^{n}$, ktorá nám dovoluje merať isté "veľmi malé" podmnožiny $\mathbb {R} ^{n}$. Základnou myšlienkou je, že množina ${\mathbf {A}}$ je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny $\mathbb {R} ^{n}$, kde platí

$0<H^{s}(A)<\infty$

, i keď ${\mathbf {A}}$ je veľmi komplikovaná. ${\mathbf {H} }^{s}$ je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.

Definicia Hausdorffovej miery

Definicia: Nech ${\mathbf {A} }\subset \mathbb {R} ^{n},0\leq s<\infty ,0<\delta \leq \infty$ definujeme

$(i){\mathbf {H} }_{\delta }^{s}(A)=\inf\{\sum _{i=1}^{\infty }\alpha (s)({\frac {diam(C_{i})}{2}})^{s}|A\subset {\cup _{j=1}^{\infty }C_{j}},diam(C_{j})\leq \delta \},$

kde

$\alpha (s)={\frac {\pi ^{\frac {s}{2}}}{\Gamma ({\frac {s}{2}}+1)}}$

tuto

$\Gamma (r)=\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{r-1}dx,(0<r<\infty ),$

je obyčajná gamma funkcia.

${\mathbf {(} }ii)$Pro ${\mathbf {A}}$ a ${\mathbf {s}}$ s vlastnosťami jako vyššie, definujeme:

$H^{s}(A)=\lim _{\delta \to 0}H_{\delta }^{s}(A)=\sup _{\delta >0}H_{\delta }^{s}(A)$

${\mathbf {H} }^{s}$ nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na $\mathbb {R} ^{n}$.

Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie

${\mathbf {H} }^{s}$ je Borelova regulárna miera pre $0\leq s<\infty$, nieje ale Radonova miera.
Z toho vyplýva toto:

$(i){\mathbf {H} }_{\delta }^{s}$ je miera.
$(ii){\mathbf {H} }^{s}$ je miera.
$(iii){\mathbf {H} }^{s}$ je Borelova miera.

Dalšie zaujímavé vlastnosti:

$(i){\mathbf {H} }^{0}$ je čítacia miera.
$(ii){\mathbf {H} }^{1}={\mathbf {L} }^{1}$ na $\mathbb {R} ^{n}$, kde ${\mathbf {L} }^{1}$ je Lebesgueova miera.
$(iii){\mathbf {H} }^{s}=0$ na $\mathbb {R} ^{n}$ pre všetky ${\mathbf {s>n} }$.
$(iv){\mathbf {H} }^{s}(\lambda A)=\lambda ^{s}{\mathbf {H} }^{s}(A)$ pre všetky $\lambda >0,A\subset \mathbb {R} ^{n}$.
$(v){\mathbf {H} }^{s}(L(A))={\mathbf {H} }^{s}(A)$ pre všetky afinní izometrie $L:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n},A\subset \mathbb {R} ^{n}$.

Literatúra

Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions,
CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.