Hausdorffova miera: Rozdiel medzi revíziami
Riadok 14: | Riadok 14: | ||
kde<br /><br /> |
kde<br /><br /> |
||
<math>\alpha(s)=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma(\frac{s}{2}+1)}</math><br /><br /> |
<math>\alpha(s)=\frac{\pi^{\frac{s}{2}}}{\Gamma(\frac{s}{2}+1)}</math><br /><br /> |
||
túto<br /><br /> |
|||
<math>\Gamma(r)=\int_0^\infty e^{-x}x^{r-1}dx,(0<r<\infty),</math><br /><br /> |
<math>\Gamma(r)=\int_0^\infty e^{-x}x^{r-1}dx,(0<r<\infty),</math><br /><br /> |
||
je obyčajná gamma funkcia.<br /><br /> |
je obyčajná gamma funkcia.<br /><br /> |
Verzia z 13:43, 1. november 2010
V matematike, Hausdorffova miera alebo Hausdorffova dimenzia alebo Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia) je nezáporné reálne číslo priradené nejakému metrickému priestoru. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v Euklidovskom priestore v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera fraktálu nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré može byť miera prirodzené číslo, ale tiež môže byť racionálne alebo iracionálne číslo. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom Felixom Hausdorffom.
Hausdorffova miera (ďalej označena ) je "dolnodimenzionalnou" mierou na , ktorá nám dovoluje merať isté "veľmi malé" podmnožiny . Základnou myšlienkou je, že množina je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny , kde platí
, i keď je veľmi komplikovaná. je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.
Definicia Hausdorffovej miery
Definícia: Nech definujeme
kde
túto
je obyčajná gamma funkcia.
Pro a s vlastnosťami jako vyššie, definujeme:
nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na .
Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie
je Borelova regulárna miera pre , nieje ale Radonova miera.
Z toho vyplýva toto:
je miera.
je miera.
je Borelova miera.
Dalšie zaujímavé vlastnosti:
je čítacia miera.
na , kde je Lebesgueova miera.
na pre všetky .
pre všetky .
pre všetky afinní izometrie .
Literatúra
- Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.