Derivácia (funkcia)

Derivácia funkcie v nejakom bode sa rovná smernici jej dotyčnice v tomto bode

Derivácia nejakej funkcie je zmena (rast) tejto funkcie v pomere k veľmi malej zmene jej premennej či premenných. Opačným procesom k derivovaniu je integrovanie.

Je to jeden zo základných pojmov matematiky, konkrétne diferenciálneho počtu.

Koncept derivácie sa dá intrepretovať rôznymi spôsobmi, napríklad v prípade dvojrozmerného grafu funkcie f(x), je derivácia tejto funkcie v ľubovoľnom bode (v ktorom existuje) rovná smernici dotyčnice tohto grafu. Z toho vidno, že sa pojem derivácie objavuje aj v mnohých geometrických súvislostiach, napr. pri pojme konkávnosť.

Definícia derivácie

Historické definície vyjadrovali deriváciu ako pomer, v akom rast nejakej premennej y zodpovedá zmene inej premennej x, na ktorej má táto premenná nejakú funkčnú závislosť. Pre zmenu hodnoty sa používa symbol Δ, takže tento pomer možno symbolicky zapísať ako

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}$.

Derivácia je hodnota podielu pre Δx blížiacej sa k 0. Ak nahradíme konečne malý rozdiel Δx nekonečne malou zmenou dx, získame definíciu derivácie

${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}$

čo označuje pomer dvoch infinitezimálných hodnôt. Tento zápis sa číta dy podľa dx a pochádza od Leibniza.

Počas vývoja matematiky sa intuitívna predstava nekonečne malých (infinitezimálnych) hodnôt ukázala ako nedostatočne presná a bola nahradená "ε-δ" formalizmom limít. Najbežnejšia moderná definícia derivácie je:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

Derivácia sa značí niekoľkými spôsobmi:

• $f'(x)\quad$ (derivácia funkcie f ktorá závisí od premennej x),
• ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)$ (derivácia funkcie f(x) podľa premennej x),
• ${\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}$ (d f podľa d x),
• $D_{x}f\quad$ (d podľa x f),
• Newtonova notácia používa bodku nad premennou: ${\dot {x}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=x'(t)$, používa sa obvykle iba vo fyzike pre derivovanie podľa premennej vyjadrujúcej čas (t).

dx v niektorých zápisoch je dnes len obyčajný symbol bez názorného obsahu.

Nie vždy však limita, ktorá deriváciu definuje, existuje a je konečná, čiže nie každá funkcia má v každom bode deriváciu. Hovoríme, že funkcia f je v bode x diferencovateľná, ak v tomto bode derivácia existuje; funkcia je diferencovateľná na intervale I, ak je diferencovateľná v každom bode tohto intervalu. Funkcia nemá deriváciu v mieste, kde nie je spojitá, ale spojitosť funkcie existenciu derivácie nezaručuje – funkcia môže mať v danom bode zvislú dotyčnicu (čo by zodpovedalo nekonečnej derivácii, čo je nezmysel), prípadne v danom bode nemusí mať dotyčnicu vôbec (v mieste, kde má graf funkcie „špičku“, napr. absolútna hodnota x nemá v bode nula deriváciu). Existujú dokonca funkcie, ktoré sú spojité v každom bode, ale nemajú v žiadnom bode deriváciu (napr. Weierstrassova funkcia).

Ak je daná funkcia diferencovateľná na nejakom intervale, môžeme na tomto intervale definovať funkciu, ktorá je v každom bode tohto intervalu rovná príslušnej derivácii. Takáto funkcia sa potom označuje prosto ako derivácia funkcie f.

Deriváciou diferencovateľnej funkcie je teda opäť funkcia, ktorá však niekedy môže byť tiež diferencovateľná. Deriváciu derivácie funkce nazývame druhá derivácia, deriváciu druhej derivácie tretia derivácia atď. Tieto derivácie vyšších rádov sa zvyčajne značia f″(x), f′′′(x), pre ešte vyššie rády skôr f⁽³⁾(x), f⁽⁴⁾(x) atď. Pri použití Leibnizovej notácie sa derivácie vyšších rádov označujú exponentom, napr. ${\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}$.

Zovšeobecnenie

Zovšeobecnením pojmu derivácie pre funkcie viacerých premenných je tzv. parciálna derivácia, kde sa u funkcie viacerých premenných považuje za premennú len tá, podľa ktorej sa derivuje, ostatné sú v tomto výpočte považované za konštanty. Parciálna derivácia sa značí obdobne ako obyčajné derivácie, len namiesto znamienka d sa používa znamienko ∂, napr. ${\frac {\partial f}{\partial y}}$ – parciálna derivácia funkcie f podľa premennej y.

Pri komplexných funkciách komplexnej premennej možno uvažovať parciálne derivácie podľa reálnej a imaginárnej zložky premennej, ale ich diferencovateľnosť nie je postačujúcou podmienkou pre diferencovateľnosť celej funkcie, pozri aj holomorfná funkcia, Cauchyho-Riemannove podmienky.

Výpočty derivácií

Principiálne základnou technikou je výpočet priamo z definície, čiže dosadením príslušnej funkcie do definujúcej limity a výpočtom tejto limity. Tento spôsob je však zvyčajne (až na veľmi jednoduché funkcie) dosť komplikovaný a v praxi sa nepoužíva. Namiesto toho sa derivácie funkcií počítajú zo známych derivácií niekoľko základných funkcií a jednoduchých algebraických pravidiel pre ich skladanie a ďalšie úpravy.

Elementárne funkcie

Derivácie niektorých elementárnych funkcií

Funkcia	Derivácia
Polynómy
$f(x)=c$ (c je konštanta)	$f'(x)=0$
$f(x)=x^{c}$ (c je konštanta)	$f'(x)=cx^{c-1}$
Mocniny, logaritmy
$f(x)=c^{x}$ (c je konštanta, c > 0, c ≠ 1)	$f'(x)=c^{x}\ln {c}$
$f(x)=\log _{a}{x}$ (a je konštanta, a > 0, a ≠ 1)	$f'(x)={\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}$
Goniometrické funkcie
$f(x)=\sin {x}$	$f'(x)=\cos {x}$
$f(x)=\cos {x}$	$f'(x)=-\sin {x}$
$f(x)=\tan {x}$	$f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}{x}}}$
$f(x)=\cot {x}$	$f'(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}{x}}}$
Cyklometrické funkcie
$f(x)=\arcsin {x}$	$f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$f(x)=\arccos {x}$	$f'(x)=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$f(x)=\arctan {x}$	$f'(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$
$f(x)=\operatorname {arccot} {x}$	$f'(x)=-{\frac {1}{1+x^{2}}}$

Algebrické pravidlá

Zo známych derivácií elementárnych funkcií sa derivácie zložitejších funkcií zostavujú tak, že sa zložitejšie funkcie rozložia na jednoduchšie pomocou jednoduchých algebrických pravidiel, ktoré pre výpočet derivácií platia:

• Linearita derivácie: (af + bg)′ = af′ + bg′ pre ľubovolné funkcie f, g a konštanty a, b.
  • Špeciálne platí (f + g)′ = f′ + g′.
• Derivácia súčinu: (fg)′ = f′g + fg′ pre všetky funkcie f, g.
• Derivácia podielu: $\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ pre všetky funkcie f, g, kde g ≠ 0.
• Derivácia zloženej funkcie: Ak f(x) = h(g(x)), potom f′(x) = h′(g(x)) ⋅ g′(x).
• Derivácia inverznej funkcie: Ak sú f(x) i f⁻¹(x) obe diferencovateľné, potom vtedy, keď Δx ≠ 0 ak Δy ≠ 0, platí ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}\right)^{-1}$.
• Derivácia jednej premennej voči druhej, ak sú obe funkciou tretej premennej: Ak x = f(t) a y = g(t), potom ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}={\frac {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}}$.
• Derivácia implicitnej funkcie: Ak f(x, y) je implicitná funkcia, potom ${\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=-{\frac {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}}$.

Z niektorých predchádzajúcich pravidiel vidno, že Leibnizova notácia umožňuje niektoré manipulácie, ktoré pripomínajú napr. krátenie zlomku. Treba ale podotknúť, že ide len o symbolické manipulácie, s krátením zlomku nemajú nič spoločné. V žiadnom prípade nemožno „krátiť d“ spôsobom dx/dy = x/y.

Konkrétne príklady

• f(x) = 3; f′(x) = 0.
• f(x) = x; f′(x) = 1,
• f(x) = 2x; f′(x) = 2 ⋅ 1 = 2.
• f(x) = 5x³; f′(x) = 15x²; f″(x) = 30x
• f(x) = e^x; f′(x) = e^x.
• f(x) = ln x; f′(x) = x⁻¹.
• f(x) = x³ + 2x² − 5x; f′(x) = 3x² + 4x − 5.
• f(x) = sin x ⋅ cos x; f′(x) = cos² x − sin² x (= cos 2x).
• $f(x)={\frac {1}{\arcsin {x}}}$; $f'(x)={\frac {-1}{(\arcsin {x})^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}$.
• $f(x)=x^{x}=e^{x\ln {x}}$; $f'(x)=e^{x\ln {x}}\cdot \left(1\cdot \ln {x}+x{\frac {1}{x}}\right)=x^{x}\cdot \left(\ln {x}+1\right)$.

Aplikácia

Pojem derivácie sa objavuje v obrovskom množstve situácií, tak v matematike samotnej, ako aj v jej aplikáciách, napr. vo fyzike.

Lokálne extrémy

Ak má daná diferencovateľná funkcia nejaký lokálny extrém (lokálne maximum či minimum), je zrejmé, že jej dotyčnica v tomto bode musí byť vodorovná, čiže derivácia tejto funkcie musí byť v tomto bode nulová. (Ak funkcia v nejakých bodoch dotyčnicu, resp. deriváciu nemá, derivácia o takých bodoch samozrejme nič prezradiť nedokáže.) Ak v tomto bode možno spočítať aj druhú deriváciu, prezradí jej znamienko, o aký extrém ide:

• V bodoch, kde je prvá derivácia nula a druhá derivácia je kladná, sa nachádza lokálne minimum.
• V bodoch, kde je prvá derivácia nula a druhá derivácia je záporná, sa nachádza lokálne maximum.
• V bodoch, kde je tak prvá, ako aj druhá derivácia nulová, sa nachádza tzv. stacionárny bod, ktorý môže a nemusí byť extrémom.
• (V bodoch, kde funkcia nemá prvú či druhú deriváciu, je nutné použiť iné kritériá.)

Tieto kritériá sa často používajú v optimalizačných úlohách. Ak je napr. požadované nájdenie obdĺžnika, ktorý pri zadanom obvode má maximálnu plochu, treba nájsť maximum funkcie f(x) = x ⋅ (o/2 − x). Jej deriváciou je funkcia f′(x) = o/2 − 2x, ktorá je nulová pre x = o/4. Druhá derivácia funkcie f je f″(x) = −2, čiže je všade kladná. V bode x = o/4 má teda funkcia f maximum. Znamená to teda, že zo všetkých obdĺžnikov o zadanom obvode má najväčší obsah ten, ktorý má všetky štyri strany rovnako dlhé, čiže štvorec.

Analýza správania funkcie

Predchádzajúci odsek opisuje spôsob, ako pre danú funkciu nájsť jej lokálne extrémy. To môže okrem optimalizačných úloh slúžiť aj na získanie prehľadu o správaní funkcie, napr. pri ručnom náčrte jej grafu. Okrem analýzy extrémov možno využiť deriváciu na nasledujúce pozorovania:

• V bodoch, kde je prvá derivácia kladná, je funkcia rastúca.
• V bodoch, kde je prvá derivácia záporná, je funkcia klesajúca.
• V bodoch, kde je druhá derivácia kladná, je funkcia konvexná.
• V bodoch, kde je druhá derivácia záporná, je funkcia konkávna.
• V bodoch, kde je druhá derivácia nulová, sa môžu vyskytovať inflexné body.

Fyzika

Jednoznačne najdôležitejšou oblasťou použitia derivácie vo fyzike sú derivácie podľa časovej premennej, vyjadrujúce rýchlosť zmeny nejakej premennej v čase. Najbežnejšie sú časové derivácie polohy, ktoré sa vyskytujú v klasickej kinematike:

• Rýchlosť (okamžitá rýchlosť, koncept priemernej rýchlosti sa zaobíde bez diferenciálneho počtu) je derivácia súradnice polohy telesa podľa času.
• Zrýchlenie je derivácia rýchlosti podľa času, čiže druhá derivácia polohy podľa času.
• Ryv je derivácia zrýchlenia podľa času, čiže tretia derivácia polohy podľa času.

Diferenciálne rovnice

Veľa vedeckých problémov možno formulovať v podobe rovníc, v ktorých sa vedľa seba vyskytuje nejaká funkcia aj jej derivácia. Takejto rovnica hovoríme diferenciálna rovnica. Diferenciálne rovnice sa objavujú azda vo všetkých vedeckých oboroch, okrem matematiky a fyziky aj napr. v chémii, sociológii, ekológii atď. Podľa toho, či sa v rovnici objavujú len „obyčajné“ derivácie, alebo aj parciálne derivácie, sa rozlišujú

• obyčajná diferenciálna rovnica (ODE) a
• parciálna diferenciálna rovnica (PDE).

Pozri aj

• Matematická analýza
• Limita
• Integrál
• Diferenciál
• Diferenciálna rovnica
• Diferencia

Externé odkazy

• Derivácia v encyklopedii MathWorld(po anglicky)
• WIMS Function Calculator umožňuje online výpočty derivací.