Hausdorffova miera: Rozdiel medzi revíziami
d Robot automaticky nahradil text: (-može +môže) |
|||
Riadok 1: | Riadok 1: | ||
V matematike, '''Hausdorffova miera''' alebo '''Hausdorffova dimenzia''' alebo '''Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia''') je [[záporné číslo|nezáporné]] [[reálne číslo]] priradené nejakému [[metrický priestor|metrickému priestoru]]. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v [[Euklidovská geometria|Euklidovskom priestore]] v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera [[fraktál]]u nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré |
V matematike, '''Hausdorffova miera''' alebo '''Hausdorffova dimenzia''' alebo '''Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia''') je [[záporné číslo|nezáporné]] [[reálne číslo]] priradené nejakému [[metrický priestor|metrickému priestoru]]. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v [[Euklidovská geometria|Euklidovskom priestore]] v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera [[fraktál]]u nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera [[prirodzené číslo]], ale tiež môže byť [[racionálne číslo|racionálne]] alebo [[iracionálne číslo]]. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom [[Felix Hausdorff|Felixom Hausdorffom]]. |
||
Hausdorffova miera (ďalej označena <math>\bold{H}^s</math>) je "dolnodimenzionalnou" mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>, ktorá nám dovoluje merať isté "veľmi malé" podmnožiny <math>\mathbb{R}^n</math>. Základnou myšlienkou je, že množina <math>\bold{A}</math> je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny <math>\mathbb{R}^n</math>, kde platí<br /><br /> |
Hausdorffova miera (ďalej označena <math>\bold{H}^s</math>) je "dolnodimenzionalnou" mierou na <math>\mathbb{R}^n</math>, ktorá nám dovoluje merať isté "veľmi malé" podmnožiny <math>\mathbb{R}^n</math>. Základnou myšlienkou je, že množina <math>\bold{A}</math> je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny <math>\mathbb{R}^n</math>, kde platí<br /><br /> |
Verzia z 17:19, 7. január 2011
V matematike, Hausdorffova miera alebo Hausdorffova dimenzia alebo Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia) je nezáporné reálne číslo priradené nejakému metrickému priestoru. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v Euklidovskom priestore v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera fraktálu nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera prirodzené číslo, ale tiež môže byť racionálne alebo iracionálne číslo. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom Felixom Hausdorffom.
Hausdorffova miera (ďalej označena ) je "dolnodimenzionalnou" mierou na , ktorá nám dovoluje merať isté "veľmi malé" podmnožiny . Základnou myšlienkou je, že množina je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny , kde platí
, i keď je veľmi komplikovaná. je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.
Definícia Hausdorffovej miery
Definícia: Nech definujeme
kde
túto
je obyčajná gamma funkcia.
Pro a s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:
nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na .
Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie
je Borelova regulárna miera pre , nieje ale Radonova miera.
Z toho vyplýva toto:
je miera.
je miera.
je Borelova miera.
Dalšie zaujímavé vlastnosti:
je čítacia miera.
na , kde je Lebesgueova miera.
na pre všetky .
pre všetky .
pre všetky afinní izometrie .
Literatúra
- Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.