Eulerovo číslo

Matematická konštanta e (známa ako Eulerovo číslo podľa švajčiarskeho matematika Leonharda Eulera, prípadne aj Napierova konštanta podľa škótskeho matematika Johna Napiera, ktorý zaviedol logaritmy) je základom prirodzeného logaritmu. Jeho približná hodnota na 30 desatinných miest je:

e = 2,718281828459045235360287471352...

Popri π a imaginárnej jednotke i, je e jedno z najvýznamnejších čísel v matematike. Má viacero ekvivalentných definícií, najznámejšie z nich sú uvedené nižšie. Používa sa napríklad pri exponencionálnych výpočtoch úrokov a pravdepodobnosti.

Definície

Tri najznámejšie definície:

1. Definícia e ako limity

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

2. Definícia e ako súčet nekonečného radu

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots$

3. Definícia e ako jediného reálneho čísla x > 0, pre ktoré platí, že

$\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}.$

Bolo dokázané, že tieto tri definície sú ekvivalentné.

Vlastnosti

Exponenciálna funkcia $e^{x}$ je dôležitá, pretože je to jediná funkcia (okrem funkcie $y=0$), ktorá je svojou vlastnou deriváciou, a z toho vyplýva že aj svojou vlastnou primitívnou funkciou:

${\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}$

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$, kde C je konštanta.

Eulerovo číslo je iracionálne (tzn. jeho desatinný rozvoj je nekonečný a neperiodický) a transcendentné (tzn. nedá sa vyjadriť ako koreň mnohočlenov s celočíselnými koeficientami)

Eulerov vzťah

Medzi číslami $e,\pi ,i,1$ platí vzorec pochádzajúci od Eulera

$e^{i\pi }+1=0\ .$

Je to špeciálny prípad všeobecnejšieho vzťahu, ktorý dáva do súvisu funkcie sínus, kosínus a exponenciálnu funkciu

$e^{ix}=\cos x+i\sin x\ .$

Externé odkazy

• Číslo e s presnosťou na milión desatinných miest