Hausdorffova miera: Rozdiel medzi revíziami

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Smazaný obsah Přidaný obsah
ZéroBot (diskusia | príspevky)
d r2.7.1) (robot Pridal: ko:하우스도르프 차원
ZéroBot (diskusia | príspevky)
d r2.7.1) (robot Pridal: vi:Số chiều Hausdorff
Riadok 62: Riadok 62:
[[uk:Розмірність Хаусдорфа]]
[[uk:Розмірність Хаусдорфа]]
[[ur:ہاسڈارف بُعد]]
[[ur:ہاسڈارف بُعد]]
[[vi:Số chiều Hausdorff]]
[[zh:豪斯多夫维数]]
[[zh:豪斯多夫维数]]

Verzia z 07:41, 21. jún 2012

V matematike, Hausdorffova miera alebo Hausdorffova dimenzia alebo Hausdorffova-Besicovitchova dimenzia) je nezáporné reálne číslo priradené nejakému metrickému priestoru. Hausdorffova miera generalizuje predstavu priestoru ako skutočného vektorového priestoru. Hausdorffova miera v v Euklidovskom priestore v jednom bode je nula, miera riadku je jedna ... miera fraktálu nadobúda číslo s desatinnými hodnotami. Existuje veľa priestorov, pre ktoré môže byť miera prirodzené číslo, ale tiež môže byť racionálne alebo iracionálne číslo. Táto koncepcia bola predstavená v roku 1918, matematikom Felixom Hausdorffom.

Hausdorffova miera (ďalej označena ) je "dolnodimenzionalnou" mierou na , ktorá nám dovoluje merať isté "veľmi malé" podmnožiny . Základnou myšlienkou je, že množina je "s-dimenzionálna" podmnožina množiny , kde platí



, i keď je veľmi komplikovaná. je definovaná ako výraz, ktorý obsahuje súčet priemerov dobrého mnohopočtného pokrytia.


Definícia Hausdorffovej miery


Definícia: Nech definujeme



kde



túto



je obyčajná gamma funkcia.

Pro a s vlastnosťami ako vyššie, definujeme:



nazývame s-dimenzionálnou Hausdorffovou mierou na .

Elementárne vlastnosti Hausdorffovej dimenzie


je Borelova regulárna miera pre , nieje ale Radonova miera.
Z toho vyplýva toto:

je miera.
je miera.
je Borelova miera.

Dalšie zaujímavé vlastnosti:

je čítacia miera.
na , kde je Lebesgueova miera.
na pre všetky .
pre všetky .
pre všetky afinní izometrie .


Literatúra

  • Steven G. Krantz: Measure Theory and Fine Properties of Functions, CRC Press LLC, London 2000, ISBN 0-8493-7157-0.