Potenciálová bariéra

Jednorozmerná pravoúhla potenciálová bariéra.
Bodkovanou čiarou je vyjadrený možný reálny potenciál a plnou modrou čiarou je jeho aproximácia pravouhlou potenciálovou bariérou.

Potenciálová bariéra alebo potenciálový val sa vo fyzike označuje také rozloženie potenciálu, že jeho hodnota je v určitej (obmedzenej) oblasti nenulová, pričom sa predpokladá, že je (aspoň približne) konštantná, konečná a kladná, zatiaľ čo mimo túto oblasť je hodnota potenciálu nulová.

V jednorozmernom prípade je možné potenciálovú bariéru vyjadriť potenciálom

$V=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{ pre }}x<0{\mbox{ a }}x>a\\V_{0}&{\mbox{ pre }}0<x<a\end{matrix}}\right.$

Potenciálová bariéra umožňuje v kvantovej mechanike popísať základné vlastné vlastnosti kvantového tunelovania.

Obdobným prípadom ako potenciálová bariéra je tzv. potenciálová jama, kedy je $V_{0}<0$.

Klasická mechanika

V klasickej mechanike je pohyb častíc povolený iba v oblasti, kde energia $E$ častice je menšia ako hodnota potenciálu.

Pokiaľ sa teda častica s $E<V_{0}$ pohybuje smerom k potenciálovej bariére, potom sa môže pohybovať iba mimo oblasť $0<x<a$. Do oblasti $0<x<a$ takáto častica nemôže vstúpiť. V klasickej mechanike sa teda častice nachádzajúce sa v oblasti $x<0$ nemôžu dostať do oblasti $x>a$ a naopak. Potenciálová bariéra je pre takéto častice nepriepustnou stenou, ktorá oddeľuje obe oblasti $x<0$ a $x>a$.

Častice s $E>V_{0}$ sa môžu pohybovať i v oblasti $0<x<a$ a môžu teda cez potenciálovú bariéru prechádzať. Takáto klasická častica pohybujúca sa smerom k potenciálovej bariére cez túto bariéru vždy prejde, tzn. nikdy nedôjde ku jej odrazu. K odrazu častice od bariéry dochádza iba v prípade $E<V_{0}$.

Kvantová mechanika

V kvantovej mechanike sa vlastnosti častice určia riešením odpovedajúcející Schrödingerovej rovnice.

Stacionárnu Schrödingerovu rovnicu vyjadríme zvlášť pre oblasť $x<0$, oblasť $0<x<a$ a pre oblasť $x>a$. V bodoch $x=0$ a $x=a$ je pritom požadované, aby vlnová funkcia bola spojitá vrátane svojej prvej derivácie.

Schrödingerove rovnice teda majú tvar

${\begin{matrix}{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{I}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi _{I}=0&{\mbox{ pre }}x<0\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{II}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}\psi _{II}=0&{\mbox{ pre }}0<x<a\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}\psi _{III}}{\mathrm {d} x^{2}}}+{\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}\psi _{III}=0&{\mbox{ pre }}x>a\end{matrix}}$

Charakter riešenia sa líši podľa toho, či celková energia častice $E$ je väčšia, alebo menšia než výška potenciálovej bariéry $V_{0}$. Výslednú vlnovú funkciu je možné rozdeliť na niekoľko častí. Predovšetkým na dopadajúcu vlnu, ktorá súvisí s voľnou časticou pohybujúcou sa smerom k potenciálovej bariére zo záporného nekonečna (teda v oblasti $x<0$). Ďalej môžeme uvažovať, že vlna sa po dopade čiastočne odrazí a čiastočne bude prechádzať do oblasti $0<x<a$. V tejto oblasti postupuje vlna ďalej k bodu $x=a$, kde prechádza druhým potenciálovým skokom, od ktorého sa opät čiastočne odráža a čiastočne prejde do oblasti $x>a$. V oblasti x < 0 teda bude výsledná vlna $\psi _{I}$ opísaná superpozíciou dopadajúcej vlny pohybujúcej sa v smere $+x$ a odrazenej vlny pohybujúcej sa v smere $-x$. Podobne v oblasti $0<x<a$ je možné výslednú vlnu $\psi _{II}$ opísať ako superpozíciu vĺn z oboch smerov, zatiaľ čo v oblasti $x>a$ je možné nájsť iba prešlú vlnu $\psi _{III}$ pohybujúcu sa v smere $+x$.

Prípad E>V₀

Ak zavedieme konštanty

$k_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}$

$k_{II}^{2}={\frac {2m(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}$

potom je možné všeobecné riešenie vyjadriť v tvare

$\psi _{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}$

$\psi _{II}=C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}x}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}x}$

$\psi _{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}$

Vzhľadom na to, že podľa predpokladu sa častica pohybuje zo záporného nekonečna, bude koeficient u člena opisujúceho v oblasti $x>a$ pohyb smerom k bariére nulový, tzn. $G=0$.

Z podmienky spojitosti vlnovej funkcie a jej prvej derivácie v bodoch $x=0$ a $x=a$, tzn. na základe rovností $\psi _{I}(0)=\psi _{II}(0)$, $\psi _{I}^{\prime }(0)=\psi _{II}^{\prime }(0)$, $\psi _{II}(a)=\psi _{III}(a)$ a $\psi _{II}^{\prime }(a)=\psi _{III}^{\prime }(a)$, dostaneme podmienky umožňujúce určiť koeficienty $A,B,C,D,F$, tzn.

$A+B=C+D$

$\mathrm {i} k_{I}(A-B)=\mathrm {i} k_{II}(C-D)$

$C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}a}+D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}$

$\mathrm {i} k_{II}\left(C\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{II}a}-D\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{II}a}\right)=\mathrm {i} k_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}$

Pravdepodobnosť prechodu kvantovej častice cez bariéru je možné pre $E>V_{0}$ vyjadriť vzťahom

$T={\left|{\frac {F}{A}}\right|}^{2}={\frac {1}{1+{\frac {1}{4}}{\left({\sqrt {\frac {E}{V_{0}-E}}}+{\sqrt {\frac {V_{0}-E}{E}}}\right)}^{2}\sinh ^{2}{\sqrt {\frac {8m(V_{0}+E)}{\hbar ^{2}}}}a}}$

Pravdepodobnosť odrazu od bariéry sa rovná

$R={\left|{\frac {B}{A}}\right|}^{2}=1-T$

Pre ľubovoľne široký a vysoký potenciálový val je táto pravdepodobnosť nenulová. Táto pravdepodobnosť však s rastúcou šírkou valu a rastúcim rozdielom energií $V_{-}E$ veľmi rýchlo klesá. Z tohto dôvodu je teda pri makroskopických procesoch tento jav zanedbateľný a nie je ho potrebné uvažovať.

Prípad E<V₀

Ak zavedieme konštanty

$k_{I}^{2}={\frac {2mE}{\hbar ^{2}}}$

$k_{II}^{2}={\frac {2m(V_{0}-E)}{\hbar ^{2}}}$

potom je všeobecné riešenie možné vyjadriť v tvare

$\psi _{I}=A\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+B\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}$

$\psi _{II}=C\mathrm {e} ^{-k_{II}x}+D\mathrm {e} ^{k_{II}x}$

$\psi _{III}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}x}+G\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} k_{I}x}$

Vzhľadom na to, že podľa predpokladu sa častica pohybuje zo záporného nekonečna, bude koeficient člena opisujúceho v oblasti $x>a$ pohyb smerom k bariére nulový, tzn. $G=0$.

Z podmienky spojitosti vlnovej funkcie a jej prvej derivácie v bodoch $x=0$ a $x=a$, tzn. na základe rovnosti $\psi _{I}(0)=\psi _{II}(0)$, $\psi _{I}^{\prime }(0)=\psi _{II}^{\prime }(0)$, $\psi _{II}(a)=\psi _{III}(a)$ a $\psi _{II}^{\prime }(a)=\psi _{III}^{\prime }(a)$, dostaneme podmienky umožňujúce určiť koeficienty $A,B,C,D,F$, tzn.

$A+B=C+D$

$\mathrm {i} k_{I}(A-B)=-k_{II}(C-D)$

$C\mathrm {e} ^{-k_{II}a}+D\mathrm {e} ^{k_{II}a}=F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}$

$-k_{II}\left(C\mathrm {e} ^{-k_{II}a}-D\mathrm {e} ^{k_{II}a}\right)=\mathrm {i} k_{I}F\mathrm {e} ^{\mathrm {i} k_{I}a}$

Pravdepodobnosť prechodu častice bariérou je možné vyjadriť ako

$T=={\frac {1}{1+{\frac {V_{0}^{2}\sinh ^{2}(k_{II}a)}{4E(V_{0}-E)}}}}$

Častica dopadajúca na potenciálový val sa teda podľa kvantovej mechaniky nemusí vždy odraziť, ale môže bariérou s určitou pravdepodobnosťou prejsť. Prechod častice bariérou je čisto kvantový jav, s kterým sa v klasickej mechanike nestretneme. Tento jav sa označuje ako tunelový jav alebo kvantové tunelovanie.

Pozri aj

• Potenciálna energia
• Potenciálový skok
• Potenciálová jama
• Tunelový jav

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Potenciálová bariéra na českej Wikipédii (číslo revízie nebolo určené).