Bohrov model atómu: Rozdiel medzi revíziami

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Smazaný obsah Přidaný obsah
Vyjadril som rýchlosť elektrónu ako funkciu hlavného kvantového čísla "n"
Bez shrnutí editace
Riadok 14: Riadok 14:
V takom prípade je sila elektrostatická silou dostredivou.
V takom prípade je sila elektrostatická silou dostredivou.


:<math>\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{e^2}{r^2}=m\frac{v^2}{r}</math>,
:<math>\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}=m\frac{v^2}{r}</math>,


čiže:
čiže:


:<math>\frac{e^2}{4 \pi \epsilon_0}=mv^2r</math>.
:<math>\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0}=mv^2r</math>.


[[Energia elektrónu]] je daná súčtom jeho [[kinetická energia|kinetickej]] a [[elektrostatická energia|elektrostatickej]] potenciálnej energie: <math>E=E_k+E_p</math>
[[Energia elektrónu]] je daná súčtom jeho [[kinetická energia|kinetickej]] a [[elektrostatická energia|elektrostatickej]] potenciálnej energie: <math>E=E_k+E_p</math>


pre kinetickú energiu platí: <math>E_k=\frac{1}{2}mv^2</math> a pre potenciálnu energiu platí: <math>E_p=-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{e^2}{r}</math>
pre kinetickú energiu platí: <math>E_k=\frac{1}{2}mv^2</math> a pre potenciálnu energiu platí: <math>E_p=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{e^2}{r}</math>


<math>E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{e^2}{r}</math>, čo je po upravení: <math>E=-\frac{1}{4 \pi \epsilon_0}\frac{e^2}{2r}</math>.
<math>E=\frac{1}{2}mv^2-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{e^2}{r}</math>, čo je po upravení: <math>E=-\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{e^2}{2r}</math>.


m -hmotnosť elektrónu;
m -hmotnosť elektrónu;
Riadok 42: Riadok 42:


Polomery orbitov pre hlavne kvantové číslo n:
Polomery orbitov pre hlavne kvantové číslo n:
<math>r=\frac{h^2e_0}{me^2 \pi}.{n^2}</math>
<math>r=\frac{h^2\varepsilon_0}{me^2 \pi}.{n^2}</math>


Rýchlosť ako funkcia hlavného kvantového čísla: <math>v=\frac{e^2}{2nh\varepsilon_0}</math>
Rýchlosť ako funkcia hlavného kvantového čísla: <math>v=\frac{e^2}{2nh\varepsilon_0}</math>
Riadok 51: Riadok 51:
Použitím vzťahu <math>E=E_k+E_p</math> , dostaneme:
Použitím vzťahu <math>E=E_k+E_p</math> , dostaneme:


Energiu vodíkového atómu v stave popísaným hlavným kvantovým číslom n: <math>E=-\frac{1}{8}.\frac{me^4}{e_0^2h^2}.\frac{1}{n^2}</math>
Energiu vodíkového atómu v stave popísaným hlavným kvantovým číslom n: <math>E=-\frac{1}{8}.\frac{me^4}{\varepsilon_0^2h^2}.\frac{1}{n^2}</math>


m - hmotnosť elektrónu, e - elementárny náboj, e0 - permitivita vákua, h - Plancková konštanta, n - hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)
m - hmotnosť elektrónu, e - elementárny náboj, e0 - permitivita vákua, h - Plancková konštanta, n - hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)

Verzia z 09:13, 22. apríl 2016

Bohrov model atómu je model atómu vodíka založený na troch postulátoch, ktorý v roku 1913 vytvoril Niels Bohr:

  1. Elektróny sa pohybujú po kružnicovej trajektorii;
  2. Pri prechode z jednej kružnice na druhú elektrón vyžiari (pohltí) práve 1 fotón;
  3. Sú dovolené tie trajektórie, ktorých moment hybnosti je nħ, kde n=1,2,3...;

Pre vlnovú dĺžku emitovaného žiarenia z uvedených postulátov vyplýva pravidlo

,

Tento vzorec nám vysvetľuje čiarový charakter vodíkového spektra. n - hlavné kvantové číslo, R - Rydbergova konštanta.

Záporne nabitý elektrón je priťahovaný kladne nabitému jadru. Aby sa udržal na stabilnom orbite, musí obiehať okolo jadra. V takom prípade je sila elektrostatická silou dostredivou.

,

čiže:

.

Energia elektrónu je daná súčtom jeho kinetickej a elektrostatickej potenciálnej energie:

pre kinetickú energiu platí: a pre potenciálnu energiu platí:

, čo je po upravení: .

m -hmotnosť elektrónu; e -elementárny náboj; ε0 -permitivita prostredia; h - plancková konštanta; n - hlavné kvantové číslo;

Bohrova podmienka kvantovania momentu hybnosti: , ,

r - polomer orbitálu, m - hmotnosť elektrónu, v - rýchlosť elektrónu, n - hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...), h - Planckova konštanta,

Bohrova kvantovacia podmienka hovorí, že ak prijmeme myšlienku de Brogliho hmotnej vlny, potom elektrón zodpovedá vlneniu s vlnovou dĺžkou .Pre existenciu stojatej vlny okolo jadra je dôležité, aby obvod orbitu bol celočíselným násobkom vlnovej dĺžky. Potom dostávame , čo potvrdzuje predchádzajúcu kvantovú podmienku.

Riešením druhej rovnice a dosadením výsledkov do prvej dostaneme nasledujúci výsledok pre povolené (možné) polomery:

Polomery orbitov pre hlavne kvantové číslo n:

Rýchlosť ako funkcia hlavného kvantového čísla:

h - Planckova konštanta, e0 - permitivita vákua, m - hmotnosť elektrónu, e - veľkosť elementárneho náboja, n - hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...),


Použitím vzťahu , dostaneme:

Energiu vodíkového atómu v stave popísaným hlavným kvantovým číslom n:

m - hmotnosť elektrónu, e - elementárny náboj, e0 - permitivita vákua, h - Plancková konštanta, n - hlavné kvantové číslo (n = 1, 2, 3, ...)

Toto je Bohrov vzorec pre energetické hladiny atómu vodíka, ktorá vedie k výrazu pre Balmerovu sériu.

Poznámka: Bohrov model atómu sa považuje za dosť umelý, avšak historicky predstavoval medzistupeň na ceste od klasickej fyziky ku kvantovej teórii.

Encyklopédia astronómie Tento článok alebo jeho časť obsahuje heslo z Encyklopédie astronómie s láskavým dovolením autorov a podporou SZA.