Postupnosť (matematika): Rozdiel medzi revíziami
d Revízia 6380525 používateľa 88.212.45.150 (diskusia) bola vrátená |
doplnenie referencií |
||
Riadok 1: | Riadok 1: | ||
'''Postupnosť''' (symbol je <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> alebo len (a<sub>n</sub>) či {a<sub>n</sub>} ) je ľubovoľná [[funkcia]] - ''f''(''n'') - , ktorej [[definičný obor]] je podmnožina [[prirodzené číslo|prirodzených čísel]] (''n'' je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu ''f''(''n'') nazývame ''n''-tý člen postupnosti a značíme a<sub>n</sub>. |
'''Postupnosť''' (symbol je <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> alebo len (a<sub>n</sub>) či {a<sub>n</sub>} ) je ľubovoľná [[funkcia]] - ''f''(''n'') - , ktorej [[definičný obor]] je podmnožina [[prirodzené číslo|prirodzených čísel]] (''n'' je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu ''f''(''n'') nazývame ''n''-tý člen postupnosti a značíme a<sub>n</sub>. |
||
Konečná postupnosť je ľubovoľná funkcia s definičným oborom {1, 2, ..., ''m''}, kde ''m'' je prirodzené číslo. Nekonečné postupnosti majú ako definičný obor celú množinu prirodzených čísel. |
Konečná postupnosť je ľubovoľná funkcia s definičným oborom {1, 2, ..., ''m''}, kde ''m'' je prirodzené číslo. Nekonečné postupnosti majú ako definičný obor celú množinu prirodzených čísel. |
||
Ak sú členmi postupnosti čísla, hovoríme o '''číselnej postupnosti''' alebo '''postupnosti čísiel''', ak sú členmi postupnosti funkcie, hovoríme o '''funkcionálnej postupnosti'''. |
Ak sú členmi postupnosti čísla, hovoríme o '''číselnej postupnosti''' alebo '''postupnosti čísiel''', ak sú členmi postupnosti funkcie, hovoríme o '''funkcionálnej postupnosti'''.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu |
||
| priezvisko = K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK |
|||
| meno = |
|||
| odkaz na autora = |
|||
| vydavateľ = Compact Verlag |
|||
| titul = Kompendium matematiky |
|||
| url = |
|||
| dátum vydania = 2004 |
|||
| dátum prístupu = 2004 |
|||
| miesto = Banská Bystrica |
|||
| jazyk = slovenský |
|||
|isbn=80-242-1227-7 |
|||
}}</ref> |
|||
== Vlastnosti == |
== Vlastnosti == |
||
Riadok 13: | Riadok 25: | ||
* ''zdola ohraničená'' v množine ''A'', ak existuje také <math>L \in \mathit{A}</math>, že pre všetky ''i'' platí <math>a_i \ge L</math>, |
* ''zdola ohraničená'' v množine ''A'', ak existuje také <math>L \in \mathit{A}</math>, že pre všetky ''i'' platí <math>a_i \ge L</math>, |
||
* ''zhora ohraničená'' v množine ''A'', ak existuje také <math>K \in \mathit{A}</math>, že pre všetky ''i'' platí <math>a_i \le K</math>. |
* ''zhora ohraničená'' v množine ''A'', ak existuje také <math>K \in \mathit{A}</math>, že pre všetky ''i'' platí <math>a_i \le K</math>. |
||
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je ''monotónna'', ak je rastúca alebo klesajúca, je ''rýdzo monotónna''. |
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je ''monotónna'', ak je rastúca alebo klesajúca, je ''rýdzo monotónna''. |
||
Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ''ohraničená''. |
Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ''ohraničená''.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu |
||
| priezvisko = P. HORÁK - Ľ. NIEPEL |
|||
| meno = |
|||
| odkaz na autora = |
|||
| vydavateľ = Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry |
|||
| titul = Prehľad matematiky |
|||
| url = |
|||
| dátum vydania = 1982 |
|||
| dátum prístupu = 1982 |
|||
| miesto = Bratislava |
|||
| jazyk = slovenský |
|||
}}</ref> |
|||
== Limita == |
== Limita == |
||
Riadok 27: | Riadok 50: | ||
Ak je <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> postupnosť (všeobecne [[reálne číslo|reálnych]]) čísiel a <math>(k_n)_{n=1}^\infty</math> rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz <math>(a_{k_n})_{n=1}^\infty</math> nazývame ''vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z <math>a_n</math>'' (inými slovami, z <math>a_n</math> vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne). |
Ak je <math>(a_n)_{n=1}^\infty</math> postupnosť (všeobecne [[reálne číslo|reálnych]]) čísiel a <math>(k_n)_{n=1}^\infty</math> rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz <math>(a_{k_n})_{n=1}^\infty</math> nazývame ''vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z <math>a_n</math>'' (inými slovami, z <math>a_n</math> vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne). |
||
Platí [[Bernard Bolzano|Bolzano]]-[[Karl Weierstrass|Weierstrassova]] veta: ''Ak je <math>\mathit(a_n)</math> ohraničená postupnosť v <math>\mathbb{R}</math>, potom z nej možno vybrať postupnosť <math>\mathit(a_{k_n})</math>, ktorá je [[konvergencia|konvergentná]]'' |
Platí [[Bernard Bolzano|Bolzano]]-[[Karl Weierstrass|Weierstrassova]] veta: ''Ak je <math>\mathit(a_n)</math> ohraničená postupnosť v <math>\mathbb{R}</math>, potom z nej možno vybrať postupnosť <math>\mathit(a_{k_n})</math>, ktorá je [[konvergencia|konvergentná]]''.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu |
||
| priezvisko = F. Jirásek, J. Benda |
|||
| meno = |
|||
| odkaz na autora = |
|||
| vydavateľ = Ekopress, s.r.o. |
|||
| titul = Matematika pro bakalářské studium |
|||
| url = |
|||
| dátum vydania = 2006 |
|||
| dátum prístupu = 2006 |
|||
| miesto = Praha |
|||
| jazyk = český |
|||
|isbn=80-86929-02-7 |
|||
}}</ref><ref>{{Citácia elektronického dokumentu |
|||
| priezvisko = J. Fecenko - Ľ. Pinda |
|||
| meno = |
|||
| odkaz na autora = |
|||
| vydavateľ = Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry |
|||
| titul = Matematika 1 |
|||
| url = |
|||
| dátum vydania = 2006 |
|||
| dátum prístupu = 2006 |
|||
| miesto = Bratislava |
|||
| jazyk = slovenský |
|||
|isbn=80-8078-091-9 |
|||
}}</ref> |
|||
== Referencie == |
|||
{{Referencie}} |
|||
== Pozri aj == |
== Pozri aj == |
Aktuálna revízia z 05:54, 26. október 2016
Postupnosť (symbol je alebo len (an) či {an} ) je ľubovoľná funkcia - f(n) - , ktorej definičný obor je podmnožina prirodzených čísel (n je teda prirodzené číslo). Konkrétnu hodnotu f(n) nazývame n-tý člen postupnosti a značíme an.
Konečná postupnosť je ľubovoľná funkcia s definičným oborom {1, 2, ..., m}, kde m je prirodzené číslo. Nekonečné postupnosti majú ako definičný obor celú množinu prirodzených čísel.
Ak sú členmi postupnosti čísla, hovoríme o číselnej postupnosti alebo postupnosti čísiel, ak sú členmi postupnosti funkcie, hovoríme o funkcionálnej postupnosti.[1]
Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]
Postupnosť je
- neklesajúca, ak pre všetky i platí ,
- nerastúca, ak pre všetky i platí ,
- rastúca, ak pre všetky i platí ,
- klesajúca, ak pre všetky i platí ,
- zdola ohraničená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí ,
- zhora ohraničená v množine A, ak existuje také , že pre všetky i platí .
Ak je postupnosť nerastúca alebo neklesajúca, hovoríme, že je monotónna, ak je rastúca alebo klesajúca, je rýdzo monotónna.
Ak je postupnosť zároveň zdola aj zhora ohraničená, hovoríme, že je ohraničená.[2]
Limita[upraviť | upraviť zdroj]
Hovoríme, že postupnosť
- konverguje, ak má konečnú limitu (napr. konverguje k 0),
- diverguje, ak má nekonečnú limitu (napr. diverguje k ),
- osciluje, ak limitu nemá (napr. ).
Vybraná postupnosť[upraviť | upraviť zdroj]
Ak je postupnosť (všeobecne reálnych) čísiel a rastúca postupnosť prirodzených čísiel, potom výraz nazývame vybraná postupnosť (alebo čiastočná postupnosť) z (inými slovami, z vyškrtneme niektoré členy, napr. všetky nepárne).
Platí Bolzano-Weierstrassova veta: Ak je ohraničená postupnosť v , potom z nej možno vybrať postupnosť , ktorá je konvergentná.[3][4]
Referencie[upraviť | upraviť zdroj]
- ↑ K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK. Kompendium matematiky. Banská Bystrica: Compact Verlag, 2004, [cit. 2004-04-05]. ISBN 80-242-1227-7.
- ↑ P. HORÁK - Ľ. NIEPEL. Prehľad matematiky. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 1982, [cit. 1982-04-05].
- ↑ F. JIRÁSEK, J. BENDA. Matematika pro bakalářské studium. Praha: Ekopress, s.r.o., 2006, [cit. 2006-04-05]. ISBN 80-86929-02-7. (český)
- ↑ J. FECENKO - Ľ. PINDA. Matematika 1. Bratislava: Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry, 2006, [cit. 2006-04-05]. ISBN 80-8078-091-9.