Osová súmernosť: Rozdiel medzi revíziami

Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Odobraných 161 bajtov ,  pred 1 rokom
d
Verzia používateľa 178.40.137.38 (diskusia) bola vrátená, bola obnovená verzia od Lofty abyss
(😎😎😎😎)
d (Verzia používateľa 178.40.137.38 (diskusia) bola vrátená, bola obnovená verzia od Lofty abyss)
Značka: rollback
[[Súbor:Commonbuckeye.JPG|náhľad|Osová súmernosť v prírode]]
====== '''Osová súmernosť''' alebo '''zrkadlový obraz''' určený osou o, je také [[zhodné zobrazenie]] v [[rovina|rovine]], ktoré k bodom priamky o priradí tie isté body, a k bodu A ktorý neleží na priamke o priradí bod A’, pričom zároveň platí vzdialenosť [A,o]=[A’,o] a úsečka [A,A’] je kolmá na priamku o. Osová súmernosť je typ [[geometrické zobrazenie|geometrického zobrazenia]]. Osová súmernosť zachováva [[vzdialenosť|vzdialenosti]] a [[uhol|uhly]]. ======
 
== Veta ==
==== Nech o je ľubovoľná pevná priamka roviny. Osová súmernosť So (súmernosť podľa osi) je zobrazenie v rovine E2 (dvojrozmerná Euklidovská rovina), v ktorom je priamka o bodovo [[invariantnosť|invariantná]], a ktoré každému bodu A neležiacemu na osi o priradí práve jeden bod So(A) = A' tak, že úsečka AA' je kolmá na priamku o a stred AA' leží na osi o. Priamka o je potom osou súmernosti. Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Osou súmernosti je potom [[os]] úsečky AA'. ====
Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Osou súmernosti je potom [[os]] úsečky AA'.
 
[[Súbor:geom_shodnost_soumernost_osa.svg|thumb|250px|Osová súmernosť|alt=Súmernosť]]
==== Nech o je ľubovoľná pevná priamka roviny. Osová súmernosť So (súmernosť podľa osi) je zobrazenie v rovine E2 (dvojrozmerná Euklidovská rovina), v ktorom je priamka o bodovo [[invariantnosť|invariantná]], a ktoré každému bodu A neležiacemu na osi o priradí práve jeden bod So(A) = A' tak, že úsečka AA' je kolmá na priamku o a stred AA' leží na osi o. Priamka o je potom osou súmernosti. Osová súmernosť je jednoznačne určená osou súmernosti a dvojicou rôznych bodov A, A' kde A' je obrazom A v tejto osovej súmernosti. Osou súmernosti je potom [[os]] úsečky AA'. ====
[[Súbor:geom_shodnost_soumernost_osa.svg|thumb|250px|Osová súmernosť|alt=Súmernosť]]
[[Súbor:Symmetry.jpg|250px|right|thumb|Príklady osí súmerností objektov]]
====* '''Osová súmernosť''' [[rovina|roviny]] alebo priestoru s [[priamka|priamkou]] ''o'' ako '''osou (súmernosti)''' je [[zobrazenie (matematika)|zobrazenie]], ktoré zobrazuje prvky osi ''o'' na sebe samej a [[bod]] <math>A</math> ležiaci mimo os ''o'' s [[priemet]]om <math>S</math> do osi ''o'' na bod <math>A^\prime</math>, ktorý sa nachádza na [[polpriamka|polpriamke]] opačnej k <math>SA</math> v rovnakej vzdialenosti od <math>S</math> ako bod <math>A</math> čiže matematicky <math>|SA| = |SA^\prime|</math><ref>{{Citácia elektronického dokumentu
 
==== '''Osová súmernosť''' [[rovina|roviny]] alebo priestoru s [[priamka|priamkou]] ''o'' ako '''osou (súmernosti)''' je [[zobrazenie (matematika)|zobrazenie]], ktoré zobrazuje prvky osi ''o'' na sebe samej a [[bod]] <math>A</math> ležiaci mimo os ''o'' s [[priemet]]om <math>S</math> do osi ''o'' na bod <math>A^\prime</math>, ktorý sa nachádza na [[polpriamka|polpriamke]] opačnej k <math>SA</math> v rovnakej vzdialenosti od <math>S</math> ako bod <math>A</math> čiže matematicky <math>|SA| = |SA^\prime|</math><ref>{{Citácia elektronického dokumentu
| priezvisko = J. Smida, J. Šedivý, J. Lukátšová, J. Vocelka
| meno =
| jazyk = slovenský
|isbn=80-08-00340-5
}}</ref> ====
 
== Vlastnosti ==
====* [[geometrický útvar|Objekt]] (či už na [[priamka|priamke]], v [[rovina|rovine]] alebo v [[priestor (geometria)|priestore]]) označujeme za '''osovo súmerný''', ak je v nejakej osovej súmernosti sám sebe obrazom. Os tejto súmernosti potom nazývame '''os objektu'''. ====
 
* Samodružný bod je taký bod, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom.
==== [[geometrický útvar|Objekt]] (či už na [[priamka|priamke]], v [[rovina|rovine]] alebo v [[priestor (geometria)|priestore]]) označujeme za '''osovo súmerný''', ak je v nejakej osovej súmernosti sám sebe obrazom. Os tejto súmernosti potom nazývame '''os objektu'''. ====
====* Samodružný útvar je taký útvar, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. Môže ale nemusí mať samodružné body. ====
 
====* Posunutá osová súmernosť vzniká, ak všetky body (útvary) sú osovo súmerné, ale ich vzdialenosť obrazu od osi je oproti vzdialenosti zdroja od osi pre všetky body zvýšená o hodnotu konštanty. <math>|SA| = const + |SA^\prime|</math> ====
* Samodružný bod je taký bod, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom.
====* Osová súmernosť je [[Involúcia (matematika)|involúciou]]. ====
 
===* Osová súmernosť má práve jednu invariantnú priamku (os o). ===
==== Samodružný útvar je taký útvar, ktorý v osovej súmernosti splynie so svojím obrazom. Môže ale nemusí mať samodružné body. ====
====* Každá priamka kolmá na os súmernosti je [[invariantnosť|invariantn]]á. ====
 
====* Osová súmernosť s pevne danou osou je sama pre seba [[inverzný obraz|inverzným obrazom]] - zložením dvoch osových súmerností s rovnakou osou vzniká [[identické zobrazenie|identita]]. ====
==== Posunutá osová súmernosť vzniká, ak všetky body (útvary) sú osovo súmerné, ale ich vzdialenosť obrazu od osi je oproti vzdialenosti zdroja od osi pre všetky body zvýšená o hodnotu konštanty. <math>|SA| = const + |SA^\prime|</math> ====
====* Osová súmernosť v rovine prevracia orientáciu útvaru - pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v osovej súmernosti je proti smeru chodu hodinových ručičiek a naopak. ====
 
==== Osová súmernosť je [[Involúcia (matematika)|involúciou]]. ====
 
=== Osová súmernosť má práve jednu invariantnú priamku (os o). ===
 
==== Každá priamka kolmá na os súmernosti je [[invariantnosť|invariantn]]á. ====
 
==== Osová súmernosť s pevne danou osou je sama pre seba [[inverzný obraz|inverzným obrazom]] - zložením dvoch osových súmerností s rovnakou osou vzniká [[identické zobrazenie|identita]]. ====
 
==== Osová súmernosť v rovine prevracia orientáciu útvaru - pokiaľ bolo poradie vrcholov v trojuholníku v smere hodinových ručičiek, potom poradie ich obrazov v osovej súmernosti je proti smeru chodu hodinových ručičiek a naopak. ====
 
* Osová súmernosť je v priestore zhodná s [[rotácia (geometria)|otočením]] o 180 stupňov podľa rovnakej osi.
====* Body ležiace na osi súmernosti sú [[samodružný bod|samodružnými bodmi]]. Všetky priamky [[kolmosť|kolmé]] k osi súmernosti sú samodružnými priamkami.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu
 
==== Body ležiace na osi súmernosti sú [[samodružný bod|samodružnými bodmi]]. Všetky priamky [[kolmosť|kolmé]] k osi súmernosti sú samodružnými priamkami.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu
| priezvisko = F. Jirásek, J. Benda
| meno =
| jazyk = český
|isbn=80-86929-02-7
}}</ref> ====
 
==== Príklad ====
====* Všetky pravidelné [[mnohouholník]]y sú osovo súmerné. Počet rôznych osí súmernosti zodpovedá počtu vrcholov mnohouholníka. Napr. [[rovnostranný trojuholník]] má tri osi súmernosti, [[štvorec]] štyri, pravidelný [[šesťuholník]] šesť. ====
 
====* Kruh je príkladom útvaru s nekonečným množstvom rôznych osí súmernosti - každá priamka prechádzajúca jeho stredom je jeho osou. ====
==== Všetky pravidelné [[mnohouholník]]y sú osovo súmerné. Počet rôznych osí súmernosti zodpovedá počtu vrcholov mnohouholníka. Napr. [[rovnostranný trojuholník]] má tri osi súmernosti, [[štvorec]] štyri, pravidelný [[šesťuholník]] šesť. ====
====* [[Rovnoramenný trojuholník]], ktorý nie je [[rovnostranný trojuholník|rovnostranný]], má jednu os súmernosti. ====
 
====* Trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný, nie je osovo súmerný. ====
==== Kruh je príkladom útvaru s nekonečným množstvom rôznych osí súmernosti - každá priamka prechádzajúca jeho stredom je jeho osou. ====
====* [[Hyperbola (matematika)|Hyperbola]], [[elipsa]] a [[parabola]] sú ďalšími príkladmi osovo súmerných rovinných útvarov. ====
 
====* [[Kocka]], [[guľa]], [[kužeľ]] a [[valec]] sú príkladom osovo súmerného priestorového útvaru. ====
==== [[Rovnoramenný trojuholník]], ktorý nie je [[rovnostranný trojuholník|rovnostranný]], má jednu os súmernosti. ====
====* [[Ihlan]] je osovo súmerný iba za predpokladu, že jeho základňa je stredovo súmerný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základne prechádzajúcej stredom súmernosti základne.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu
 
==== Trojuholník, ktorý nie je rovnoramenný, nie je osovo súmerný. ====
 
==== [[Hyperbola (matematika)|Hyperbola]], [[elipsa]] a [[parabola]] sú ďalšími príkladmi osovo súmerných rovinných útvarov. ====
 
==== [[Kocka]], [[guľa]], [[kužeľ]] a [[valec]] sú príkladom osovo súmerného priestorového útvaru. ====
 
==== [[Ihlan]] je osovo súmerný iba za predpokladu, že jeho základňa je stredovo súmerný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základne prechádzajúcej stredom súmernosti základne.<ref>{{Citácia elektronického dokumentu
| priezvisko = M. Billich - M. Trenkler
| meno =
| jazyk = slovenský
|isbn=978-80-561-0058-5
}}</ref> ====
 
==== Referencie ====
{{Referencie}}
 
==== Pozri aj ====
====* [[RovinnáStredová súmernosť]] ====
 
====* [[StredováRovinná súmernosť]] ====
====* [[Zhodné zobrazenie]] ====
 
==== [[Rovinná súmernosť]] ====
 
==== [[Zhodné zobrazenie]] ====
[[Kategória:Geometria]]
32 030

úprav

Navigačné menu