Ludolfovo číslo

Na zápis Ludolfovho čísla sa používa minuskulum (malé písmeno) pí gréckej abecedy. Často sa týmto znakom aj pomenuváva.

Ludolfovo číslo, hovorovo $\pi$ (pí) alebo výnimočne aj Archimedova konštanta (znak je grécke písmeno malé pí) je pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Či je kruh malý, alebo veľký, $\pi \,\!$ je stále rovnaké, je to matematická konštanta. Táto konštanta sa bežne používa nielen v matematike ale aj vo fyzike, inžinierstve a iných vedách. Ludolfovo číslo je iracionálne, transcendentné číslo, ktorého prvé tri cifry sú 3,14.

Dejiny čísla $\pi \,\!$

Archimedes zo Syrakúz bol jeden z prvých matematikov, ktorý sa zaujímal o číslo $\pi \,\!$

Podiel obvodu kruhu k jeho priemeru bol už od staroveku objektom záujmu vedcov. Babylončania okolo roku 2000 pred Kr. zistili, že obvod kruhu je približne trojnásobkom jeho priemeru. Matematický postup výpočtu čísla $\pi \,\!$ sa objavil okolo roku 255 pred Kr. Archimedom zo Syrakrúz. Archimedes pomocou výpočtu obvodu pravidelného vpísaného a opísaného 96 uholníka odhadol hodnotu čísla $\pi \,\!$ medzi zlomkami ${\frac {223}{71}}$ a ${\frac {220}{70}}$ (3,1408 <$\pi \,\!$<3,1428). V nemecky hovoriacich krajinách bolo toto číslo nazývané Ludolfovo (Ludolphsche Zahl) podľa nemecko-holandského matematika Ludolph van Ceulen, ktorý ho v roku 1596 určil pomocou Archimedovho postupu na 20 miest a neskôr na 35 miest. Výpočtom sa zaoberal aj Samuel Mikovíny, ktorý pred rokom 1750 určil jeho hodnotu na 25 cifier. Návrh na označenie tohto čísla znakom $\pi \,\!$ pochádza z roku 1706 od málo známeho waleského matematika Williama Jonesa, ktorý sa v 18. storočí stal viceprezidentom Londýnskej kráľovskej spoločnosti. Označenie $\pi \,\!$ sa však ujalo až po tom, čo ho začal používať matematik a fyzik Leonhard Euler (prvýkrát v roku 1736 v diele Mechanika). V súčasnosti aj Nemci nazývajú Ludolfovo číslo ako $\pi \,\!$ .

Potom, čo Johann Lambert v roku 1768 dokázal, že $\pi \,\!$ nie je zlomok ale iracionálne číslo, vyriešil Ferdinand von Lindemann najvýznamnejší problém spojený s $\pi \,\!$, keď dokázal, že $\pi \,\!$ je transcendentné číslo (teda nie je koreňom žiadnej polynomickej rovnice).

Vyčíslenie hodnoty $\pi \,\!$

William Shanks v roku 1853 oznámil, že vypočítal $\pi \,\!$ s presnosťou na 607 miest (napokon sa ukázalo, že správnych bolo len 527). V súčasnosti sa snaha o upresnenie desatinného rozvoja čísla $\pi \,\!$ urýchlila vďaka výpočtovej technike. V roku 1949 určili hodnotu $\pi \,\!$ s presnosťou na 2 037 desatinných miest, čo pomocou počítača ENIAC trvalo 70 hodín. V roku 2011 bolo známych viac ako 10 000 000 000 000 miest čísla $\pi \,\!$.

Hodnota čísla

Nikdy nebudeme poznať presnú hodnotu čísla $\pi \,\!$, keďže je to iracionálne číslo. Desatinný rozvoj $\pi \,\!$ je nekonečný a bez predikovateľnej štruktúry. Jeho hodnota na 60 desatinných miest je:

$3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944...$

Výpočet $\pi \,\!$

Jeden zo spôsobov ako $\pi \,\!$ vypočítať:

$\pi =4\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\cdots$

Na približné účely sa často používa zaokrúhlená hodnota na dve desatinné miesta 3,14, čomu zodpovedá aj zlomok 22/7 (3,1428).

Mnemotechnické pomôcky

Pomerne jednoducho sa zapamätá 113/355 (po 2 krát za sebou nepárne čísla 1 3 5 rozdelené v strede lomkou), čo je $1/\pi \,\!$ s presnosťou na 7 miest odkiaľ opačný pomer 355/113 je $\pi \,\!$ s presnosťou tiež na 7 miest.

Číslo $\pi \,\!$ s presnosťou na 9 desatinných miest je možné vytvoriť spočítaním písmen v jednotlivých slovách napríklad pomocou tejto vety: "Tak, ó milá, ó drahá, zapamätaj si týchto čísel rad."

Ak priemer kruhu je 1, potom jeho obvod je pí.

Kruh a guľa

Kruh

${\text{Obvod}}=\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {d} =2\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {r}$

${\text{Obsah}}=\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {r^{2}}$

Guľa

${\text{Povrch}}=\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {d^{2}} =4\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {r^{2}}$

${\text{Objem}}={\frac {4}{3}}\mathbf {\pi \,\!} \mathbf {r^{3}}$

Zaujímavosti

Deň pí sa oslavuje od roku 1988 každý rok 14. marca. V tento ako aj v dni "približujúce sa k pí" si ho možno pripomenúť odriekaním jeho cifier. V roku 2015 spamäti a so zaviazanými očami povedal Ind Rajveer Meena jeho prvých 70 000 cifier, čo mu trvalo skoro 10 hodín.

Zdroj

• Crilly, T.: Matematika 50 myšlienok, ktoré by ste mali poznať, Bratislava: Slovart, 2011

Externé odkazy

• Ludolfovo číslo s presnosťou na 4,2 milióna desatinných čísiel na stiahnutie