Kmitanie

Kmitanie alebo oscilácia je pohyb fyzikálnej sústavy (napr. hmotného bodu), pri ktorom sa systém po vychýlení vždy vráti do rovnovážnej polohy. Jedna zmena v rámci kmitania sa nazýva aj kmit. Kmit je napríklad pohyb, ktorý vykoná periodicky kmitajúci hmotný bod za jednu periódu, napr. medzi dvoma po sebe nasledujúcimi maximálnymi výchylkami na tú istú stranu

Typickým príkladom kmitania je kyvadlo, ktorého výchylka (meraná napríklad v stupňoch) sa periodicky mení. Kmitajúce sústavy sa vyznačujú frekvenciou, ktorou ich kmity prebiehajú.

Jednoduché sústavy

Najjednoduchším systémom vykazujúcim kmity je závažie zavesené na pružine v gravitačnom poli. V rovnováhe je tiaž telesa kompenzovaná napätím v pružine. Ak závažie z tejto rovnovážnej polohy vychýlime, výslednica síl naň pôsobiacich je nenulová a navracia teleso späť do rovnovážnej polohy. Pri opätovnom dosiahnutí rovnovážnej polohy má však závažie nenulovú hybnosť, nasleduje preto výchylka na opačnú stranu a pohyb pokračuje. Výsledkom sú kmity okolo rovnovážnej polohy, ktoré bez pôsobenia trenia (odporu vzduchu, prípadne strát pri deformáciách pružiny) pokračujú bez obmedzenia. Čas, ktorý uplynie medzi dvoma návratmi závažia do krajnej polohy sa nazýva perióda kmitov a väčšinou sa označuje T.

Uvedený rozbor kmitov jednoduchej sústavy sa dá zovšeobecniť. Získame tak popis sústavy konajúcej kmitavý pohyb.

• Sústava má svoju rovnovážnu polohu. Pri vychýlení z nej potom koná kmitavý pohyb.
• Existuje nejaká sila, ktorá sústavau prinavracia do rovnovážnej polohy.
• Kinetická energia pohybu sa mení na potenciálnu energiu (v uvedenom príklade ide o potenciálnu energiu natiahnutej pružiny).

Základné pojmy

Ak označíme rovnovážnu polohu oscilátora $U_{0}$ a okamžitú polohu oscilátora $U(t)$, tak okamžitou výchylkou nazývame:

$s(t)=U(t)-U_{0}$.

Okamžitou rýchlosťou potom nazývame prvú deriváciu výchylky podľa $t$, teda:

$v(t)=s'(t)={\frac {\mathrm {d} s}{\mathrm {d} t}}$

Okamžitým zrýchlením nazývame druhú deriváciu výchylky podľa $t$, teda:

$a(t)=s''(t)=v'(t)={\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}$

Najväčšiu dosiahnutu výchylku $s_{max}$ nazývame amplitúdou pohybu. Čas, ktorý uplynie medzi dvoma cyklami oscilátora nazývame perióda kmitavého pohybu, často označujeme $T$. Prevrátenú hodnotu periódy nazývame frekvenciou, $f={\frac {1}{T}}$.

Harmonické kmity

Kmitavý pohyb ktorého zrýchlenie je priamo úmerné výchylke a má opačný smer ako výchylka nazývame harmonickým.

Základné vzťahy

Môžeme ho popísať rovnicou:

$a(t)=-ls(t);l>0$

Čo je to isté ako:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}s}{\mathrm {d} t^{2}}}=-ls(t)$

Ľahko overíme, že jednorozmerným riešením tejto rovnice sú funkcie tvaru:

$s(t)=s_{m}ax\sin(\omega t+\varphi )$

A z toho ľahko odvodíme vzťahy pre rýchlosť a zrýchlenie:

$v(t)=\omega s_{m}ax\cos(\omega t+\varphi )$

$a(t)=-\omega ^{2}s_{m}ax\sin(\omega t+\varphi )$

Kde parameter

$\omega ={\sqrt {l}}$

nazývame uhlovou rýchlosťou kmitavého pohybu. Medzi uhlovou rýchlosťou a periódou kmitavého pohybu je vzťah:

$T={\frac {2\pi }{\omega }}$

V prípade, že výchylka nie je jednorozmerná skalárna veličina, ale je to vektor, môžeme pohyb rozdeliť do niekoľkých jednorozmerných zložiek, pre ktoré už vzťahy poznáme.

Súvis s rovnomerným pohybom po kružnici

Špeciálnym prípadom harmonických kmitov je rovnomerný pohyb hmotného bodu po kružnici. Okamžitou polohou je v tomto prípade okamžitá poloha hmotného bodu v priestore a rovnovážnou polohou je stred kružnice, ktorým avšak hmotný bod nikdy neprechádza. Výchylka už teda nebude skalárnou veličinou, ale bude to polohový vektor s počiatkom v strede kružnice. Vieme, že na teleso pohybujúce sa po kružnici uhlovou rýchlosťou $\omega$ pôsobí v každom okamihu dostredivé zrýchlenie

${\vec {a}}(t)=-\omega ^{2}{\vec {s}}(t)$

Túto vektorovú rovnicu môžeme nahradiť dvoma skalárnymi:

$a_{x}(t)=-\omega s_{x}(t)$

$a_{y}(t)=-\omega s_{y}(t)$

A vidíme, že sa jedná o dvojrozmerný harmonický pohyb skladajúci sa z dvoch jednorozmerných harmonických pohybov. Ak označíme r polomer kružnice a $t=0$ čas, kedy $s_{x}=r$ a $s_{y}=0$, dostaneme jednoduché vzťahy pre jednotlivé zložky výchylky:

$s_{x}(t)=r\cos(\omega t)$

$s_{y}(t)=r\sin(\omega t)$

Zo vzťahu pre obvodovú rýchlosť: $v=\omega r$ zase dostaneme vzťahy pre jednotlivé zložky rýchlosti:

$v_{x}(t)=-\omega r\sin(\omega t)$

$v_{y}(t)=\omega r\cos(\omega t)$

A nakoniec zo vzťahu pre dostredivé zrýchlenie: $a=\omega ^{2}r$ dostávame vzťahy pre jednotlivé zložky zrýchlenia:

$a_{x}(t)=-\omega ^{2}r\cos(\omega t)$

$a_{y}(t)=-\omega ^{2}r\sin(\omega t)$

Takto sme odvodili rovnicu harmonických kmitov z pohybu po kružnici.

Závažie na nehmotnej pružine

Najklasickejším príkladom harmonických kmitov je kmitanie závažia na nehmotnej pružine. Základnou vlastnosťou pružiny je, že na teleso pôsobí vždy silou, ktorá je úmerna jej predĺženiu. To môžeme vyjadriť vzťahom:

$F(t)=-ks(t)$

Kde konštantu $k$ nazývame tuhosťou pružiny. Ak má teleso hmotnosť $m$ tak sila $F(t)$ spôsobí jeho zrýchlenie $a(t)={\frac {F(t)}{m}}=-{\frac {k}{m}}s(t)$ Čo je rovnica harmonických kmitov. Pre tento konkrétny pohyb dostávame:

$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$

$T={\frac {2\pi m}{\omega k}}$

Celková energia pružinky s telesom je zo zákona zachovania mechanickej energie (nikde tu nepôsobí trenie) v každom okamihu konštantná a je daná súčtom kinetickej energie telesa a potenciálnej energie pružiny. Teleso konalo prácu, pretože naň celý čas pôsobila sila pružnosti a táto práca sa premenila na potenciálnu energiu pružiny. Vzťah pre prácu je: $W=F_{p}s$, kde $F_{p}$ je priemerná sila a $s$ je dráha. V našom prípade je sila úmerná výchylke (prejdenej dráhe) a priemerná sila je teda ${\frac {ks}{2}}$, z toho dostávame vzťah pre prácu a teda aj potenciálnu energiu:

$E_{p}={\frac {1}{2}}ks^{2}$

Pre kinetickú energiu máme vzťah:

$E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}$

V polohe, kedy je výchylka maximálna, sa celá energia sústavy premenila na potenciálnu energiu. Označme $s_{max}$ amplitúdu pohybu, dostávame potom:

$E=E_{p}+E_{k}={\frac {1}{2}}ks_{max}^{2}$

Malé kmity

Malé kmity sú dôležitým zjednodušením, ktoré nám umožňuje analyticky skúmať kmitajúce sústavy. Ich použitie môžeme ilustrovať na jednoduchej kmitajúcej sústave - matematickom kyvadle.

Schéma síl pôsobiacich na matematické kyvadlo.

Matematické kyvadlo je fyzikálna abstrakcia (zjednodušenie), v ktorej je hmotný bod s hmotnosťou m zavesený na dokonale pevnom, neroztiahnuteľnom a nehmotnom závese dĺžky l. Za predpokladu, že na túto sústavu nepôsobí odpor prostredia, po vychýlení z rovnovážnej polohy koná netlmené kmity. Ak meriame výchylku telesa z rovnovážnej polohy uhlom $\varphi$, o ktorý sa odchyľuje od zvislice, môžeme pomocou Newtonových zákonov zapísať jeho pohybovú rovnicu v tvare

$\varepsilon =-{\frac {g}{l}}\sin \varphi .$

Tu $\varepsilon$ je uhlové zrýchlenie telesa, teda

$\varepsilon ={\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}.$

Dosadením tohto vyjadrenia do pohybovej rovnice matematického kyvadla dostávame diferenciálnu rovnicu opisujúcu matematického kyvadla v tvare ${\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi .$ Táto rovnica sa však nedá analyticky riešiť. Je však možné skúmať malé kmity, kedy výchylka kyvadla $\varphi$ neprevyšuje približne päť stupňov. Pre malé uhly totiž platí vzťah $\sin \varphi \approx \varphi$, použitím ktorého sa predcházajúca rovnica zjednoduší do tvaru

${\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}=-{\frac {g}{l}}\,\varphi .$

Toto už je lineárna diferenciálna rovnica, ktorej riešenie je jednoduché a vedie k harmonickým kmitom s kruhovou frekvenciou $\omega ={\sqrt {g/l}}$ a periódou $T=2\pi {\sqrt {l/g}}$.

Zhrnutím skúmania matematického kyvadla je to, že zatiaľ čo kmity pozorujeme v mnohých systémoch, analyticky ich dokážeme riešiť vtedy, keď je navracajúca sila priamo úmerná výchylke. Takýto druh závislosti môžeme často dosiahnuť tým, že sa obmedzíme na skúmanie malých výchyliek.

Skladanie harmonických kmitov

Často potrebujeme riešiť otázku kmitavého pohybu skladajúceho sa z niekoľkých rôznych harmonických kmitavých pohybov. Môžeme dostať rovnicu pohybu:

$s(t)=\sum _{i=0}^{n}s_{0}\sin(\omega _{0}t+\varphi _{0})$

V prípade, že skladáme kmity s rovnakou frekvenciou, ktoré sa líšia len fázou a amplitúdou, výsledkom bude opäť jednoduchý harmonický kmit, ktorého parametre vieme bližšie určiť pomocou fázorového diagramu.

Využitie harmonických kmitov pri riešení fyzikálnych úloh

Harmonické kmity majú široké uplatnenie aj pri riešení fyzikálnych úloh na prvý pohľad nesúvisiacich s kmitavým pohybom.

Vlak na naklonenej rovine

Pred úpätím naklonenej roviny so sklonom $\alpha$ voči zemi sa nachádza homogénny vlak dĺžky $l$ hmotnosti $m$ pohybujúci sa rýchlosťou $v$ smerom ku kopcu. Vlak začne stúpať na kopec, v akom čase od tohto okamihu sa bude nachádzať lokomotíva v najvyššom bode svojej dráhy? Predpokladajte, že vlak nemá dostatočnú rýchlosť na to, aby vyšiel na kopec celý.

Riešenie:

Rozoberme situáciu v momente, keď sa lokomotíva nachádza v určitej vzdialenosti od úpätia kopca $d$. Rozoberme sily pôsobiace na vlak v tomto okamihu. Na časť vlaku nachádzajúcu sa na zemi pôsobí nulová výslednica síl, keďže tiažová sila sa vykompenzovala s reakciou podložky. Na časť vlaku nachádzajúcu sa na kopci pôsobí len zložka tiažovej sily rovnobežná so sklonom kopca, keďže zložka kolmá na kopec sa vykompenzovala s reakciou kopca. Na jednotku dĺžky vlaku pripadá hmotnosť ${\frac {m}{l}}$, hmotnosť časti vlaku nachádzajúcej sa na kopci teda bude:

${\frac {md}{l}}$

Veľkosť tiažovej sily pôsobiacej na túto časť vlaku potom bude:

${\frac {mgd}{l}}$

Nás však zaujíma len zložka rovnobežná s kopcom, takže dostávame výslednú silu:

$F_{v}={\frac {mgd\sin(\alpha )}{l}}$

Ktorá urýchluje celý vlak hmotnosti $m$, zodpovedá teda zrýchleniu:

$a={\frac {gd\sin(\alpha )}{l}}$

Alebo:

$a=kd$, kde: $k={\frac {g\sin(\alpha )}{l}}$

Čo je rovnica harmonických kmitov, pre ktorých periódu dostávame vzťah:

$T={\frac {2\pi }{\sqrt {k}}}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g\sin(\alpha )}}}$

Medzi rovnovážnou polohou (v našom prípade čas, kedy začal vlak liezť na kopec) a maximálnou výchylkou (čas kedy sa nachádzala lokomotíva v najvyššom bode svojej dráhy) uplynie pri harmonických kmitoch jedna štvrtina periódy. Avšak to je presne hľadaný čas a dostávame riešenie úlohy:

$t={\frac {T}{4}}={\frac {1}{2}}\pi {\sqrt {\frac {l}{g\sin(\alpha )}}}$

Voda v L trubici

Dve ramená trubice tvaru L s prierezom $S$ sú oddelené prepážkou. Zvislé rameno je naplnené vodou až do výšky $h$. Zrazu prepážku odstránime, za aký čas vytečie zo zvislého ramena všetka voda?

Riešenie:

Rozoberme situáciu v momente, keď je hladina vody v zvislej trubici v určitej výške $d$. Na časť vody nachádzajúcu sa vo zvislej časti trubice pôsobí v smere pohybu tiažová sila veľkosti:

$F_{g}=Sd\rho g$.

Na zvyšok vody nemá tiažová sila žiaden pohybový účinok, keďže je kolmá na smer pohybu vody (vykompenzuje sa s reakciou trubice). Sila $F_{g}$ teda spôsobuje všetko zrýchlenie vody, ktorej hmotnosť je: $Sh\rho$, zrýchlenie je teda:

$a={\frac {dg}{h}}$

Alebo:

$a=kd$, kde: $k={\frac {g}{h}}$

Čo je rovnica harmonických kmitov, pre ktorých periódu dostávame vzťah:

$T={\frac {2\pi }{\sqrt {k}}}=2\pi {\sqrt {\frac {h}{g}}}$

Medzi rovnovážnou polohou (v našom prípade čas, kedy vytečie všetka voda) a maximálnou výchylkou (čas kedy sa nachádzala hladina vody v zvislej trubici vo výške $h$) uplynie pri harmonických kmitoch jedna štvrtina periódy. Avšak to je presne hľadaný čas a dostávame riešenie úlohy:

$t={\frac {T}{4}}={\frac {1}{2}}\pi {\sqrt {\frac {h}{g}}}$

Ďalšie využitie

Harmonické kmity sa však nevyskytujú len v mechanike, klasickým príkladom nemechanického harmonického oscilátora je elektromagnetický oscilátor tvorený RLC obvodom. V tomto prípade nebude výchylkou zmena polohy, ale zmena napätia, či zmena prúdu.

Tlmené kmity

Súbor:RLC-serial-Under Damping.PNG

Tlmené kmity elektrického prúdu v obvode.

Predpoklad o neexistencii odporu prostredia je v praxi neuskutočniteľný. V reálnom svete sa preto stretávame s kmitmi, ktorých celková energia s časom klesá. Následne klesá aj amplitúda kmitov a kmity po istom čase zaniknú. Na obrázku vpravo sú znázornené tlemené kmity v elektrickom obvode - prúd I sa mení v čase t, no tieto zmeny sa postupne zmenšujú.

Pozri tiež

• Vlnenie
• Kyvadlo
• Rezonancia
• Systém lovec-korisť