Dismutácia (matematika)

Dismutácia alebo tiež dearanžment je matematický pojem, ktorý modeluje intuitívnu predstavu takého preusporiadania súboru vecí, po ktorom neostane ani jedna vec na svojom pôvodnom mieste. Formálne je dismutácia množiny $A$ definovaná ako taká jej permutácia, ktorá nemá pevný bod.

Napríklad, existuje 6 rôznych permutácií trojprvkovej množiny {A,B,C}. Sú to

$\textstyle \left({A \atop A}{B \atop B}{C \atop C}\right),\left({A \atop A}{B \atop C}{C \atop B}\right),\left({A \atop B}{B \atop A}{C \atop C}\right),\left({A \atop B}{B \atop C}{C \atop A}\right),\left({A \atop C}{B \atop A}{C \atop B}\right),\left({A \atop C}{B \atop B}{C \atop A}\right).$

Ale iba 2 z nich sú dismutácie. Konkrétne

$\textstyle \left({A \atop B}{B \atop C}{C \atop A}\right),\left({A \atop C}{B \atop A}{C \atop B}\right).$

Počet dismutácií

Podobne ako v prípade permutácii, aj počet rôznych dismutácií danej množiny zavisí iba od počtu jej prvkov. Napríklad:

• Prázdna, čiže 0-prvková množina, má práve jednu dismutáciu. Je to prázdne zobrazenie, ktoré ničomu nič nepriradí a teda nemôže mať ani pevný bod.
• Jednoprvková množina nemá žiadnu dismutáciu. Jediná jej permutácia je totiž identita a jej pevným bodom je každý prvok, na ktorom je definovaná.
• Horeuvedený príklad ukazuje, že existujú dve dismutácie trojprvkovej množiny.

Vo všeobecnosti možno počet dismutácií $!n$ ľubobolnej $n$-prvkovej množiny vypočítať pomocou rekurentného vzťahu

$!\,n=\textstyle {\frac {1}{2}}\left(!\,(n-1)+!\,(n-2)\right)$

s počiatočnou podmienkou $!0=1$ a $!1=0$. Číslo $!n$ sa nazýva subfaktoriál čísla $n$. Subfaktoriály celých čísel od 0 po 13 tvoria postupnosť

1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ...

Pozri aj

• Permutácia