Archimedova axióma

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Archimedova axióma[1][2][3][4][5](iné názvy: Eudoxova-Archimedova axióma[1][6],Eudoxova axióma[3][5][6], Archimedov výrok[7], Archimedov princíp, Archimedova vlastnosť [reálnych čísiel][4][8], axióma merateľnosti[9], Archimedova veta[10][11]) bola pôvodne nasledujúca veta (axióma): Ak máme dve úsečky, z ktorých jedna je kratšia (X) a jedna dlhšia (Y), tak ak nanesieme (narysujeme) úsečku X dostatočne veľakrát za sebou, vždy dostaneme úsečku, ktorá je dlhšia než úsečka Y [veta 1]. Dnes sa táto veta často aplikuje aj na plochu, objem či všeobecne na usporiadané aritmetické a algebrické štruktúry (napr. na množiny prirodzených, celých, racionálnych a reálnych čísiel); v takom prípade znie všeobecne takto: Ak máme ľubovoľné dve (kladné) hodnoty (nejakej veličiny [pozn 1]), z ktorých jedna je menšia (A) a druhá väčšia (B), tak vždy platí A.n>B, pričom n je nejaké (aspoň jedno) prirodzené číslo [veta 2]. Táto veta platí (t. j. Archimedova axióma je splnená) napríklad pre množinu reálnych čísiel. Vlastnosť (niečoho) spĺňať Archimedovu axiómu, sa nazýva archimedovská vlastnosť (Archimedova vlastnosť) alebo archimedovská usporiadanosť; algebrická štruktúra (napr. grupa, pole) spĺňajúca Archimedovu axiómu sa teda volá archimedovská alebo archimedovsky usporiadaná.[1][5][12][3][13][14][15]

Dá sa ukázať, že veta 2 vyplýva z nasledujúcej vety a je s ňou ekvivalentná: Množina všetkých prirodzených čísiel je zhora neohraničená resp. inak povedané (tu ako príklad pre množinu reálnych čísiel): Ku každému reálnemu číslu C existuje nejaké (aspoň jedno) prirodzené číslo n, ktoré je väčšie ako C [veta 3]. Aj táto veta sa niekedy takisto zvykne označovať ako Archimedova axióma (resp. vyššie uvedené synonymá), pričom ale v niektorých textoch sú použité rôzne názvy pre vetu 2 (či 1) a vetu 3 (napr. Archimedov princíp pre vetu 2 a Archimedova vlastnosť (reálnych čísiel) pre vetu 3; Archimedova axióma pre vetu 1 a Archimedova veta pre vetu 3; Archimedova vlastnosť (reálnych čísiel) pre vetu 2 a Eudoxova-Archimedova [veta] pre vetu 3). [16][15][8][13][2][10]

Z Archimedovej axiómy (t. j. z vety 2 či 3, ale aj 1) vyplýva, že v danej algebrickej štruktúre nie je žiaden nekonečne veľký či nekonečne malý prvok (t.j. napr. pre množinu reálnych čísiel platí, že neexistujú nekonečne malé alebo nekonečne veľké reálne čísla). [17][18][6]

Existuje aj Archimedova axióma v multiplikatívnom tvare (t.j. namiesto A.n=A+A+A... je An=A.A.A…). K tomu pozri nižšie. [4]

Archimedova axióma v multiplikatívnom tvare [19][upraviť | upraviť kód]

Vieme, že za predpokladu platí , a tak ďalej. Z toho je intuitívne zrejmé, že veľmi vysoké mocniny čísla sú veľmi malé. To znamená, že pri ľubovoľne malom kladnom čísle pre dosť veľké celé číslo platí . Táto významná skutočnosť sa nazýva Archimedová vlastnosť a formálne ju zapisujeme nasledujúcou vetou: Nech , nech . Potom existuje také prirodzené číslo , že .

Dôkaz[upraviť | upraviť kód]

Na dokázanie Archimedovej vlastnosti musíme najprv dokázať nasledujúcu vetu:

Nech . Potom postupnosť je sumovateľná a platí: .

Dôkaz je nasledovný:

V (Z) položme pre každé celé , z čoho vyplýva, že postupnosť je sumovateľná. Označme jej súčet s. Potom platí .

Urobme teraz substitúciu , pričom , . Keďže platí

takže dostaneme . Teda , z čoho ihneď vyplýva

.

Keď sa teraz vrátime k dôkazu archimedovej postupnosti, tak podľa predchádzajúcej vety je číslo súčtom postupnosti . Preto k ľubovolnému číslo existuje také celé číslo , že

. Ak označíme , tak zrejme . Teda k takto zvolenému existuje celé číslo , pre ktoré platí . To znamená, že existuje také celé , že .

Na druhej strane platí rovnosť . Teda z toho vypláva . Z toho už dostávame, že . Ak teda zvolíme , máme hľadané prirodzené číslo s vlastnosťou .


Dôsledky Archimedovej vlastnosti[upraviť | upraviť kód]

  • Ku každému existuje také prirodzené číslo , že . Nasleduje dôkaz: Podľa Archimedovej vlastnosti ku každému existuje celé číslo s vlastnosťou . Nech . Potom je také prirodzené číslo, že
  • Ku každému číslu také prirodzené číslo , že . Nasleduje dôkaz: Ak teraz , tak pre ľubovolné Ak , tak pre každé také číslo , pre ktoré . Také prirodzené číslo však určite existuje podľa dokázanej časti tejto vety.

Poznámky[upraviť | upraviť kód]

  1. Veličina v tomto zmysle: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Quantity.

Referencie[upraviť | upraviť kód]

  1. a b c Archimedova axióma. In: Encyclopaedia Beliana. 1. vyd. Bratislava : Encyklopedický ústav SAV; Veda, 1999. 696 s. ISBN 80-224-0554-X. Zväzok 1. (A – Belk), s. 356.
  2. a b Malá encyklopédia matematiky. 2., preprac. a rozš. vyd. Bratislava: Obzor, 1978. s. 78.
  3. a b c EISENREICH, Günther, SUBE, Ralf et al. Matematika: anglicko-nemecko-francúzsko-rusko- slovenský slovník (1-2). 1. vyd. Bratislava: Alfa, 1982.
  4. a b c BLAŠKO, Rudolf. Matematická analýza I [online]. frcatel.fri.uniza.sk, 2014, [cit. 2016-10-20]. Dostupné online. s. 57
  5. a b c Archimedean axiom. In: Encyclopaedia of Mathematics [online]. Springer, pôvodne 2002, [cit. 2016-10-20]. Dostupné online.
  6. a b c BEČVÁŘ, J. Teorie reálných čísel – Od Eudoxa k Dedekindovi. In: Acta Mathematica 16, zborník…, Nitra, 2013 [1], s. 5
  7. EUKLIDOVSKÝ PRIESTOR [online]. evlm.stuba.sk, [cit. 2016-10-20]. Dostupné online.
  8. a b HUTNÍK, O.. Matematická analýza I. [online]. umv.science.upjs.sk, 2012, [cit. 2016-10-20]. Dostupné online.
  9. 5. a 6. přednáška [online]. kmt.zcu.cz, [cit. 2016-10-20]. Dostupné online. s. 3 (uvedené ako Hilbertove označenie axiómu)
  10. a b Malá encyklopédia matematiky. 2., preprac. a rozš. vyd. Bratislava: Obzor, 1978. s. 56.
  11. LÁSKA, V.: Základy aritmetiky. In: Rozhledy matematicko-přirodovědecké, roč. 11, č. 3, 1931/32, s. R89 [2]
  12. Archimedisches Axiom. In: Brockhaus - die Enzyklopädie Digital. [CD-ROM] Mannheim: Bibliogr. Inst. und Brockhaus, 2003. ISBN 3-7653-9377-0
  13. a b HALAS, Zdeněk: Bakalářský seminář z matematiky I, II – Zavedení R: Dodekinovy řezy [3], prístup: 2016-10-20
  14. HILBERT, D.: The Foundations of Geometry. 1950 dostupné online, s. 24
  15. a b KOŘÍNEK, Vladimír. Základy algebry. Praha : Nakladatelství Československé akademie věd, 1956. S. 73.
  16. BUSAM, R.. Analysis 1 (SS 2006, WS 2006/7) [online]. mathi.uni-heidelberg.de, c. 2006, [cit. 2016-10-20]. Dostupné online. . s- 44-45
  17. HENLE, Michael. Which Numbers Are Real?. [s.l.] : MAA, 2012. ISBN 978-0-88385-777-9. S. 27.
  18. MATH 409 - Advanced Calculus I - Lecture 3: Metric spaces. Completeness axiom. Existence of square roots. [online]. math.tamu.edu, [cit. 2016-10-20]. Dostupné online.
  19. I. KLUVÁNEK: Prípravný kurz k diferenciálnemu a integrálnemu počtu. Ružomberok, Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku. 2006, s. 229-230, 244-246

Pozri aj[upraviť | upraviť kód]