Báza (vektorový priestor)

Báza vektorového priestoru $V$ je množina lineárne nezávislých vektorov, ktorých lineárnym obalom je priestor $V$. Každý vektor z $V$ sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia bázových vektorov. Teda voľba bázy súčasne každému vektoru priraďuje súradnice - koeficienty takejto lineárnej kombinácie.

Definícia

Nech $V$ je vektorový priestor nad poľom $F$ a $B\subseteq V$.

• Množina $B$ je lineárne nezávislá, ak pre ľubovoľné vektory ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}\in B$ z rovnosti $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n}={\vec {0}}$ vyplýva $c_{1}=c_{2}=\dots =c_{n}=0$.
• Množina $B$ generuje priestor $V$, ak každý vektor ${\vec {v}}\in V$ sa dá vyjadriť ako ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n}$ pre nejaké ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}\in B$. Inak povedané, lineárny obal množiny $B$ je celý priestor $V$, t.j. $\langle B\rangle =V$.

Ak $B$ je lineárne nezávislá množina a súčasne generuje priestor $V$, tak hovoríme, že $B$ je báza priestoru $V$. Ekvivalentná podmienka je, že každý vektor ${\vec {v}}\in V$ sa dá vyjadriť práve jedným spôsobom ako lineárna kombinácia konečne veľa vektorov z $B$. Koeficienty tejto lineárnej kombinácie voláme súradnice daného vektora vzhľadom na bázu $B$,

V prípade, že $B$ je konečná množina, tak sa uvedené definície dajú sformulovať o čosi jednoduchšie. Na miestach, kde sme v uvedených definíciách potrebovali vybrať konečnú podmnožinu z $B$ môžeme zobrať priamo celú bázu. T.j. môžeme definície sformulovať tak, že $B=\{{\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}\}$ namiesto ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}\in B$.

Vlastnosti

• Ak $M$ je ľubovoľná lineárne nezávislá množina v priestore $V$, tak existuje báza $B$ obsahujúca $M$.
• Ak $M$ je množina, ktorá generuje priestor $V$, tak existuje báza $B$ taká, že $B\subseteq M$.
• Ľubovoľné dve bázy daného priestoru $V$ majú rovnakú kardinalitu. Túto kardinalitu nazývame dimenzia priestoru $V$.
• Obrazy prvkov bázy jednoznačne určujú lineárne zobrazenie. T.j. ak máme bázu $B$ priestoru $V$ a zobrazenie $g\colon B\to W$, kde $W$ je vektorový priestor nad tým istým poľom, tak existuje práve jedno lineárne zobrazenie $f\colon V\to W$ také, že $f|_{B}=g$. (Opäť, v konečnorozmernom prípade je formulácia o čosi zrozumiteľnejšia. Ak máme bázu pozostávajúcu z vektorov ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\dots ,{\vec {v}}_{n}$ a poznáme obrazy $f({\vec {v}}_{i})={\vec {w}}_{i}$, tak pre vektor ${\vec {v}}=c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n}$ nutne musíme mať $f({\vec {v}})=c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {w}}_{2}+\dots +c_{n}{\vec {w}}_{n}$. Dá sa overiť, že tento predpis skutočne definuje lineárne zobrazenie z $V$ do $W$.)

Príklady bázy

Majme nejaký vektorový priestor $V$ a podmnožinu $W\subset V$ takú, že lineárny obal $\langle W\rangle$ tejto množiny je rovný priestoru $V$, teda platí: $\langle W\rangle =V$.

Príklad 1.: nech $W={(1,0),(0,1),(2,3)}$ a $V=R^{2}$. Je zrejmé, že platí rovnosť $\langle W\rangle =R^{2}$. Avšak vektory $(1,0),(0,1),(2,3)$ sú lineárne závislé, pretože platí: $2(1,0)+3(0,1)=(2,3)$, naproti tomu, vektory $(1,0),(0,1)$ sú lineárne nezávislé, preto vektory $(1,0),(0,1)$ tvoria bázu vektorového priestoru $R^{2}$ (samozrejme aj vektorového priestoru $\langle W\rangle$).

Príklad 2.: Nech je daný vektorový priestor $R^{3}$. Vektory $(0,2,3),(1,0,7),(1,3,0)$ sú lineárne nezávislé a preto tvoria bázu vektorového priestoru $R^{3}$.

Nekonečnorozmerný prípad

Niektorí autori používajú v nekonečnorozmernom prípade názov Hamelova báza, na odlíšenie od niektorých iných typov báz používaných pre nekonečnorozmerné priestory. (Napríkad Schauderova báza v Banachových priestoroch alebo ortonormálna báza v Hilbertových priestoroch.) Niekedy sa však tento termín používa špecificky pre bázu $\mathbb {R}$ ako vektorového priestoru nad $\mathbb {Q}$.

Najjednoduchší príklad nekonečnorozmerného priestoru je priestor dimenzie $\aleph _{0}$. Takýto priestor môžeme dostať napríklad ako priestor $c_{00}$, pozostávajúci z postupností reálnych čísel, ktoré majú iba konečne veľa nenulových členov. Priestor $c_{00}$ je vektorový priestor nad $\mathbb {R}$, jeho báza pozostáva z postupností $e_{i}$, $i\in \mathbb {N}$, kde $e_{i}$ obsahuje jedinú jednotku na $i$-tom mieste. T.j. $e_{1}=(1,0,0,0,\dots )$, $e_{2}=(0,1,0,0,0,\dots )$, atď.

Pre mnohé nekonečnorozmerné vektorové priestory nevieme explicitne popísať bázu. Tvrdenie, že každý vektorový priestor má bázu, je ekvivalentné s axiómou výberu.

Ľubovoľný nekonečnorozmerný Banachov priestor má dimenziu aspoň ${\mathfrak {c}}$. Z toho napríklad vidíme, že ak má lineárny normovaný priestor spočítateľnú Hamelovu bázu, tak nemôže byť úplný.

Literatúra

• HALBEISEN, Lorenz J.. Combinatorial Set Theory: With a Gentle Introduction to Forcing. 2. vyd. London : Springer-Verlag, 2012. ISBN 978-1-4471-2172-5. DOI:10.1007/978-1-4471-2173-2
• HEIL, Christopher. A Basis Theory Primer (Expanded Edition). Boston : Birkhäuser, 2011. 534 s. ISBN 978-0-8176-4686-8.
• KOMJÁTH, Péter; TOTIK, Vilmos. Problems and Theorems in Classical Set Theory. New York : Springer Science & Business Media, 2006. 516 s. ISBN 978-0-387-30293-5.
• KORBAŠ, Július. Lineárna algebra a geometria. Bratislava : Univerzita Komenského, 2003. 240 s. ISBN 80-223-1706-3.
• ZLATOŠ, Pavol. Lineárna algebra a geometria. Cesta z troch rozmerov s presahmi do príbuzných odborov. Bratislava : Marenčin PT, 2011. Dostupné online. ISBN 978-80-8114-111-9.
• LACEY, H. Elton. The Hamel Dimension of any Infinite Dimensional Separable Banach Space is c. Amer. Math. Monthly, 1973, roč. 80, čís. 3, s. 298. Dostupné online. DOI: 10.1080/00029890.1973.11993276.

Pozri aj

• Lineárny obal
• Lineárna závislosť
• Podmnožina
• Vektorový priestor