Báza (vektorový priestor)

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání

Báza vektorového priestoru je množina lineárne nezávislých vektorov, ktorých lineárnym obalom je priestor . Každý vektor z sa dá jednoznačne vyjadriť ako lineárna kombinácia bázových vektorov. Teda voľba bázy súčasne každému vektoru priraďuje súradnice - koeficienty takejto lineárnej kombinácie.

Definícia[upraviť | upraviť kód]

Nech je vektorový priestor nad poľom a .

  • Množina je lineárne nezávislá, ak pre ľubovoľné vektory z rovnosti vyplýva .
  • Množina generuje priestor , ak každý vektor sa dá vyjadriť ako pre nejaké . Inak povedané, lineárny obal množiny je celý priestor , t.j. .

Ak je lineárne nezávislá množina a súčasne generuje priestor , tak hovoríme, že je báza priestoru . Ekvivalentná podmienka je, že každý vektor sa dá vyjadriť práve jedným spôsobom ako lineárna kombinácia konečne veľa vektorov z . Koeficienty tejto lineárnej kombinácie voláme súradnice daného vektora vzhľadom na bázu ,

V prípade, že je konečná množina, tak sa uvedené definície dajú sformulovať o čosi jednoduchšie. Na miestach, kde sme v uvedených definíciách potrebovali vybrať konečnú podmnožinu z môžeme zobrať priamo celú bázu. T.j. môžeme definície sformulovať tak, že namiesto .

Vlastnosti[upraviť | upraviť kód]

  • Ak je ľubovoľná lineárne nezávislá množina v priestore , tak existuje báza obsahujúca .
  • Ak je množina, ktorá generuje priestor , tak existuje báza taká, že .
  • Ľubovoľné dve bázy daného priestoru majú rovnakú kardinalitu. Túto kardinalitu nazývame dimenzia priestoru .
  • Obrazy prvkov bázy jednoznačne určujú lineárne zobrazenie. T.j. ak máme bázu priestoru a zobrazenie , kde je vektorový priestor nad tým istým poľom, tak existuje práve jedno lineárne zobrazenie také, že . (Opäť, v konečnorozmernom prípade je formulácia o čosi zrozumiteľnejšia. Ak máme bázu pozostávajúcu z vektorov a poznáme obrazy , tak pre vektor nutne musíme mať . Dá sa overiť, že tento predpis skutočne definuje lineárne zobrazenie z do .)

Príklady bázy[upraviť | upraviť kód]

Majme nejaký vektorový priestor a podmnožinu takú, že lineárny obal tejto množiny je rovný priestoru , teda platí: .

Príklad 1.: nech a . Je zrejmé, že platí rovnosť . Avšak vektory sú lineárne závislé, pretože platí: , naproti tomu, vektory sú lineárne nezávislé, preto vektory tvoria bázu vektorového priestoru (samozrejme aj vektorového priestoru ).

Príklad 2.: Nech je daný vektorový priestor . Vektory sú lineárne nezávislé a preto tvoria bázu vektorového priestoru .[1]

Nekonečnorozmerný prípad[upraviť | upraviť kód]

Niektorí autori používajú v nekonečnorozmernom prípade názov Hamelova báza, na odlíšenie od niektorých iných typov báz používaných pre nekonečnorozmerné priestory. (Napríkad Schauderova báza v Banachových priestoroch alebo ortonormálna báza v Hilbertových priestoroch.)[2] Niekedy sa však tento termín používa špecificky pre bázu ako vektorového priestoru nad .[3]

Najjednoduchší príklad nekonečnorozmerného priestoru je priestor dimenzie . Takýto priestor môžeme dostať napríklad ako priestor , pozostávajúci z postupností reálnych čísel, ktoré majú iba konečne veľa nenulových členov. Priestor je vektorový priestor nad , jeho báza pozostáva z postupností , , kde obsahuje jedinú jednotku na -tom mieste. T.j. , , atď.

Pre mnohé nekonečnorozmerné vektorové priestory nevieme explicitne popísať bázu. Tvrdenie, že každý vektorový priestor má bázu, je ekvivalentné s axiómou výberu.[4]

Ľubovoľný nekonečnorozmerný Banachov priestor má dimenziu aspoň . Z toho napríklad vidíme, že ak má lineárny normovaný priestor spočítateľnú Hamelovu bázu, tak nemôže byť úplný.[5]

Referencie[upraviť | upraviť kód]

  1. [Cit. 2020-03-30]. Dostupné online. (český)
  2. Heil 2011, Section 4.1, s. 125
  3. Komjáth a Totik 2006, Chapter I.15, s. 67
  4. Halbeisen 2001, Theorem 5.4, s. 107
  5. Lacey 1973, s. 298

Literatúra[upraviť | upraviť kód]

Pozri aj[upraviť | upraviť kód]