Barycentrický súradnicový systém

Ukážka barycentrických súradníc.

Barycentrický súradnicový systém je v geometrii taký súradnicový systém, ktorý jednoznačne určuje polohu bodu voči trojuholníku v rovine. Barycentrické súradnice bodu P možno interpretovať ako váhy (obsahy) trojuholníkov PAB, PBC a PCA vytvorených z bodu P a príslušných dvoch bodov tvoriacich úsečku príslušnej strany trojuholníka ABC. Súradnice konkrétneho bodu tvoria usporiadanú množinu troch hodnôt. Súradnice môžu nadobúdať záporné aj nulové hodnoty, ale súčet súradníc nemôže byť nikdy nula. Tieto súradnice sa zvyčajne označujú malým gréckym písmenom lambda, ${\textstyle \lambda }$, ale nie je to v matematickej notácii všeobecne prijímaný úzus.

Podľa kombinácií kladných (${\textstyle +\lambda }$), záporných (${\textstyle -\lambda }$) a nulových (${\textstyle 0}$) hodnôt jednotlivých súradníc je možné identifikovať kde sa daný bod nachádza voči trojuholníku ABC:

• (+:0:0), (0:+:0) a (0:0:+) - bod je totožný s jedným z vrcholov trojuholníka
• (+:+:0), (+:0:+) a (0:+:+) - bod leží na strane a, b alebo c
• (+:+:+) - bod leží vždy vnútri trojuholníka
• (+:+:-), (+:-:+) a (-:+:+) - bod leží mimo trojuholníka v časti roviny, ktorá je ohraničená tromi priamkami
• (-:-:+), (-:+:-) a (+:-:-) - bod leží mimo trojuholníka v časti roviny, ktorá je ohraničená dvomi priamkami
• (+:-:0), (-:+:0), (+:0:-), (-:0:+), (0:+:-) a (0:-:+) - bod leží na jednej z troch priamok, avšak nie na strane trojuholníka a, b alebo c.

Obdobný koncept existuje aj pre iné rozmery, napr. ${\textstyle \mathbb {R} ^{1}}$ (úsečka) alebo ${\textstyle \mathbb {R} ^{3}}$ (štvorsten) atď.

Pre barycentrické súradnice platí:

$\lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}=k\lambda _{1}:k\lambda _{2}:k\lambda _{3}$

kde ${\textstyle k>0;k\in \mathbb {R} }$.

Takéto trojice barycentrických súradníc popisujú jeden a ten istý bod pretože platí:

${\frac {\lambda _{1}}{k\lambda _{1}}}={\frac {\lambda _{2}}{k\lambda _{2}}}={\frac {\lambda _{3}}{k\lambda _{3}}}$.

Tieto súradnice zaviedol do matematiky v roku 1827 nemecký matematik August Möbius .

Výpočet barycentrických súradníc

Barycentrické súradnice ${\textstyle \lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}}$ bodu ${\textstyle P(x,y)}$ voči trojuholníku ${\textstyle ABC}$ s vrcholmi ${\textstyle A(x_{A},y_{A})}$, ${\textstyle B(x_{B},y_{B})}$ a ${\textstyle C(x_{C},y_{C})}$ definovaných v karteziánskej sústave súradníc sa vypočítajú nasledovne:

${\begin{alignedat}{2}\lambda _{1}&={\frac {(y_{B}-y_{C})(x-x_{C})+(x_{C}-x_{B})(y-y_{C})}{(y_{B}-y_{C})(x_{A}-x_{C})+(x_{C}-x_{B})(y_{A}-y_{C})}}\\\lambda _{2}&={\frac {(y_{C}-y_{A})(x-x_{C})+(x_{A}-x_{C})(y-y_{C})}{(y_{B}-y_{C})(x_{A}-x_{C})+(x_{C}-x_{B})(y_{A}-y_{C})}}\\\lambda _{3}&=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}\end{alignedat}}$.

Prevod barycentrických súradníc na karteziánske

${\begin{alignedat}{2}x&=\lambda _{1}x_{A}+\lambda _{2}x_{B}+\lambda _{3}x_{C}\\y&=\lambda _{1}y_{A}+\lambda _{2}y_{B}+\lambda _{3}y_{C}\\\end{alignedat}}$

Normalizácia súradníc

Pri práci so súradnicami sa v niektorých prípadoch vyžaduje, aby boli normalizované , čo znamená, aby ich súčet bol rovný jednej. Takto upravené súradnice sa niekedy nazývajú aj ako absolútne alebo (nie úplne správne) afinné.

$1=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n-1}+\lambda _{n}$.

Normalizovať sa dá podľa vzorca:

$\lambda _{i}={\frac {\lambda _{i}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}}}$.

Konkrétne pre jednotlivé súradnice pre bod a trojuholník v dvojdimenzionálnom euklidovskom priestore:

$\lambda _{1}={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}},\lambda _{2}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}},\lambda _{3}={\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}$.

Pozri aj

• súradnicové systémy
• karteziánska sústava súradníc
• trojuholník