Bernoulliho nerovnosť

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Bernoulliho nerovnosť je využívaná pri dokazovaní zložitejších matematických viet. Samotná nerovnosť má tvar

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Dôkaz Bernoulliho nerovnosti nie je zložitý, vyžaduje základy dokazovania matematickou indukciou. V prvom kroku sa overí platnosť pre prvé prirodzené číslo . Dostaneme čo je zrejme pravda. Indukčný predpoklad je teda platnosť


po splnení horeuvedených podmienok. V druhom kroku sa snažíme z pravdivosti (i) odvodiť platnosť


Tvar nerovnosti (ii) možno prepísať na tvar


Teraz je potrebné dokázať, že platí


Po úprave dospejeme na tvar odkiaľ už vidno, že pôvodná nerovnosť platí.

Použitie nerovnosti pri dôkazoch[upraviť | upraviť zdroj]

Príkladom, môže byť dôkaz o existencií limity postupnosti


pričom treba dokázať ohraničenosť a monotónnosť tejto postupnosti.