Bernoulliho nerovnosť

Bernoulliho nerovnosť je využívaná pri dokazovaní zložitejších matematických viet. Samotná nerovnosť má tvar

$(1+x)^{n}\geq 1+nx\,;\quad n\in \mathbb {N} ,x\in (-1;+\infty )$

Dôkaz

Dôkaz Bernoulliho nerovnosti nie je zložitý, vyžaduje základy dokazovania matematickou indukciou. V prvom kroku sa overí platnosť pre prvé prirodzené číslo $n=1$. Dostaneme $1+x=1+x$ čo je zrejme pravda. Indukčný predpoklad je teda platnosť

$(\,{\text{i}}\,)\qquad (1+x)^{k}\geq 1+kx$

po splnení horeuvedených podmienok. V druhom kroku sa snažíme z pravdivosti (i) odvodiť platnosť

$(\,{\text{ii}}\,)\qquad (1+x)^{k+1}\geq 1+(k+1)x$

Tvar nerovnosti (ii) možno prepísať na tvar

$(1+x)^{k}\geq {\frac {1+kx+x}{1+x}}$

Teraz je potrebné dokázať, že platí

$1+kx\geq {\frac {1+kx+x}{1+x}}$

Po úprave dospejeme na tvar $kx^{2}\geq 0$ odkiaľ už vidno, že pôvodná nerovnosť platí.

Použitie nerovnosti pri dôkazoch

Príkladom, môže byť dôkaz o existencií limity postupnosti

$\left\{\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$

pričom treba dokázať ohraničenosť a monotónnosť tejto postupnosti.