Cauchyho integrálna formula

V matematike je Cauchyho integrálna formula jedno z centrálnych tvrdení komplexnej analýzy. Formula je pomenovaná na počesť francúzskeho matematika Augustina-Louis Cauchyho. Cauchyho integrálna formula umožňuje jednoduchý výpočet komplexných krivkových integrálov po uzavretých krivkách; poskytuje taktiež prepojenie medzi deriváciami a integrálmi (napr. v podobe Taylorovej vety).

Tvrdenie

Nech ${\mathcal {U}}$ je oblasť (t.j. otvorená podmnožina komplexnej roviny) a nech $G\subset {\mathcal {U}}$ je otvorená množina. Ďalej, nech $f:{\mathcal {U}}\to \mathbb {C}$ je holomorfná funkcia na ${\mathcal {U}}$, potom

$\int _{\partial G}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =2\pi if(z)$.

Obdobnou podobou Cauchyho integrálnej vety je forma, kde sa integruje po kružnici $S_{\epsilon }(z)$ s ľubovoľne malým polomerom $\epsilon$ a stredom v bode $z$

$\oint _{S_{\epsilon }(z)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =2\pi if(z).$

Dôkaz

Predtým, než sa pustíme na dôkaz Cauchyho formuly, si dokážeme pomocnú lemu. Dôkaz predpokladá znalosť Cauchyho integrálnej vety a elementárnej komplexnej analýzy.

Lema

Nech ${\mathcal {U}}$ je otvorená podmnožina komplexnej roviny $\mathbb {C}$, a nech $f:{\mathcal {U}}\to \mathbb {C}$ je holomorfná funkcia. Nech $G\subset {\mathcal {U}}$ je otvorená množina, ktorej hranica $\partial G$ pozostáva z (n+1) po častiach hladkých Jordanovských kriviek: $\Gamma _{0}$​ s ACW orientáciou (kladná orientácia) a $\Gamma _{1},\Gamma _{2},\dots ,\Gamma _{n}$ s CW orientáciou (záporná orientácia). Predpokladajme, že existuje otvorená podmnožina ${\mathcal {G}}\subset {\mathcal {U}}$ taká, že $\partial {\mathcal {G}}=\Gamma _{0}$ a všetky $\Gamma _{1},\Gamma _{2},\dots ,\Gamma _{n}$​ ležia vo vnútri ${\mathcal {G}}$. Potom:

$\int _{G}f(z)dz=0.$

Dôkaz lemy

Nech $U$ je jednoducho súvislá oblasť, ktorej hranica je tvorená z krivky $\Gamma _{0}$, kriviek $\Gamma _{1},\Gamma _{2},\dots ,\Gamma _{n}$ s ACW orientáciou a kriviek $\Delta _{1},\Delta _{2},\dots ,\Delta _{n}$, pričom tieto krivky máme "dvakrát," raz s ACW, raz s CW orientáciou. Krivka $\Delta _{j}$ spája $\Gamma _{0}$ s $\Gamma _{j}$. Na základe Cauchyho integrálnej vety (CIV), ktorá vraví, že integrál po hranici jednoducho súvislej oblasti je nulový máme

$0{\overset {\text{CIV}}{=}}\int _{\partial U}f(z)dz=\int _{\Gamma _{0}}f(z)dz+\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{\Gamma _{j}^{CW}}f(z)dz+\int _{\Delta {j}^{ACW}}f(z)dz+\int _{\Delta {j}^{CW}}f(z)dz\right),$

ale keďže

$\int _{\Delta _{j}^{ACW}}f(z)dz=-\int _{\Delta _{j}^{CW}}f(z)dz,$

dostávame

$0=\int _{\Gamma _{0}}f(z)dz+\sum _{j=1}^{n}\int _{\Gamma _{j}^{CW}}f(z)dz=\int _{\partial G}f(z)dz,$

čo sme chceli ukázať.

Dôkaz Cauchyho formuly

Nech platia predpoklady lemy a $z\in \mathbb {C}$. Vezmime také $\epsilon >0$, že uzavretý kruh ${\bar {B_{\epsilon }}}(z)$ so stredom v bode $z$ nemá s krivkami $\Gamma _{j}$ prienik. Označme $G'=G\backslash {\bar {B_{\epsilon }}}(z)$, potom $\partial G'=\partial G\cup S_{\epsilon }^{CW}(z)$, kde $S_{\epsilon }(z)$ označuje sféru s polomerom $\epsilon$ (orientácia je záporná). Na základe lemy máme

$0=\int _{\partial G'}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int _{\partial G}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi +\int _{S_{\epsilon }^{CW}(z)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi ,$

teda

$\int _{\partial G}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =\int _{S_{\epsilon }^{ACW}(z)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi .$

Ukážeme teraz, že limita

$\lim _{\epsilon \to 0}\int _{S_{\epsilon }^{ACW}(z)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi =2\pi if(z).$

Stačí si uvedomiť, že (integrál $1/z$ je logaritmus, ktorý na uzavretej krivke je rovný $2\pi i$)

$2\pi if(z)=\int _{S_{\epsilon }^{ACW}(z)}{\frac {f(z)}{\xi -z}}d\xi ,$

potom

$\left|\int _{S_{\epsilon }^{ACW}(z)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -int_{S_{\epsilon }^{ACW}(z)}{\frac {f(z)}{\xi -z}}d\xi \right|=\left|\int _{S_{\epsilon }^{ACW}(z)}{\frac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}d\xi \right|;$

$\left|\int _{S_{\epsilon }^{ACW}(z)}{\frac {f(\xi )-f(z)}{\xi -z}}d\xi \right|\leq \int _{S_{\epsilon }(z)}{\frac {|f(\xi )-f(z)|}{|\xi -z|}}ds,$

pričom $\int gds$ značí krivkový integrál prvého druhu funkcie $g$. Ďalej využijeme fakt, že integrujeme po kružnici s polomerom $\epsilon$ a spojitosť (resp. holomorfnosť) funkcie $f$

$|\xi -z|\leq \epsilon \implies |f(\xi )-f(z)|\leq \delta \in \mathbb {R} ,$

pričom $\delta$ je dostatočne malé reálne číslo. Dostávame teda

$\int _{S_{\epsilon }(z)}{\frac {|f(\xi )-f(z)|}{|\xi -z|}}ds\leq {\frac {\delta }{\epsilon }}2\pi \epsilon =2\pi \delta ,$

teda rozdiel

$\left|\int _{S_{\epsilon }^{ACW}(z)}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi -2\pi if(z)\right|$

môžeme urobiť ľubovoľne malým, dokázali sme teda danú limitu. Keďže integrál holomorfnej funkcie nezávisí na polomere integračnej sféry, dostávame

$\oint _{S_{\epsilon }(z)}{\frac {f(z)}{\xi -z}}d\xi =2\pi if(z),$

čo sme chceli ukázať.

Taylorova veta a zovšeobecnená Cauchyho integrálna formula

Pomocou Cauchyho integrálnej formuly vieme odvodiť koeficienty Taylorovho radu holomorfnej funkcie. Porovnanie s klasickou Taylorovou formulou poskytuje informáciu, že "diferencovanie je ekvivalentné integrovaniu." Tento výsledok platí iba v komplexnej analýze; v reálnej analýze neplatí.

Taylorova veta

Nech ${\mathcal {U}}$ je oblasť a nech $f:{\mathcal {U}}\to \mathbb {C}$ je holomorfná funkcia na ${\mathcal {U}}$. Ďalej, nech $z_{0}\in {\mathcal {U}}$, $R>0$ je kladné reálne číslo, potom pre každé komplexné číslo $z$ z otvoreného kruhu $B_{R}(z_{0})\subset {\mathcal {U}}$ s polomerom $R$ a stredom v bode $z_{0}$ platí

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-z_{0})^{n},$

pričom koeficienty $c_{n}$ sú určené vzťahom

$c_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{S_{r}(z_{0})}{\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{n+1}}}dz,$

kde $r\in (0,R)$. Uvedený potenčný rad nazývame Taylorovym radom funkcie $f$, $z_{0}$ nazývame stredom radu.

Dôkaz Taylorovej vety

Vezmime fixné $z\in B_{R}(z_{0})$, označme $\delta =|z-z_{0}|<R$ a $s\in (\delta ,R)$. Z Cauchyho integrálnej vety máme

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{S_{s}(z_{0})}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi .$

Ďalej si všimneme, že platí

${\frac {1}{\xi -z}}={\frac {1}{\xi -z_{0}}}{\frac {1}{1-{\frac {z-z_{0}}{\xi -z_{0}}}}}={\frac {1}{\xi -z_{0}}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {z-z_{0}}{\xi -z_{0}}}\right)^{n},$

pričom v poslednej rovnosti sa využili poznatky o súčte geometrického radu:

$|q|=\left|{\frac {z-z_{0}}{\xi -z_{0}}}\right|={\frac {\delta }{s}}<1\implies {\frac {1}{1-q}}=\sum _{n=0}^{\infty }q^{n}.$

Dostávame

${\frac {1}{\xi -z}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(z-z_{0})^{n}}{(\xi -z_{0})^{n+1}}}.$

Podľa Weierstrassovho M-testu uvedený rad konverguje rovnomerne a absolútne, teda nasledujúce úpravy sú oprávnené (výmena sumácie a integrovania):

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{S_{s}(z_{0})}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}(z-z_{0})^{n}d\xi =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2\pi i}}\oint _{S_{s}(z_{0})}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi \right)(z-z_{0})^{n},$

čo bolo treba dokázať.

Zovšeobecnená Cauchyho integrálna formula

Taylorova formula štandardne uvádza koeficienty $c_{n}$ holomorfnej (resp. analytickej) funkcie $f$ ako podiel n-tej derivácie v strede Taylorovho radu a n faktoriálu:

$c_{n}={\frac {f^{(n)}(z_{0})}{n!}}.$

Porovnaním tejto štandardnej formuly s nami odvedenou dostávame tzv. zovšeobecnenú Cauchyho integrálnu formulu:

$\oint _{S_{\epsilon }(z)}{\frac {f(\xi )}{(\xi -z)^{n+1}}}d\xi ={\frac {2\pi i}{n!}}f^{(n)}(z).$

Využitie Cauchyho integrálnej formuly

Výpočet komplexných krivkových integrálov

Vypočítajme komplexný krivkový integrál

$\oint _{S_{2\pi }(0)}{\frac {\cos z}{(z+\pi )(z-\pi )}}dz.$

Na základe lemy vieme integrál prepísať ako

$\oint _{S_{2\pi }(0)}{\frac {\cos z}{(z+\pi )(z-\pi )}}dz=\oint _{S_{\epsilon _{1}}(\pi )}{\frac {\frac {\cos z}{z+\pi }}{z-\pi }}dz+\oint _{S_{\epsilon _{2}}(-\pi )}{\frac {\frac {\cos z}{z-\pi }}{z+\pi }}dz,$

použijeme Cauchyho integrálnu formulu, dostávame tak

$\oint _{S_{2\pi }(0)}{\frac {\cos z}{(z+\pi )(z-\pi )}}dz=2\pi i\left({\frac {\cos \pi }{2\pi }}+{\frac {\cos(-\pi )}{-2\pi }}\right)=0.$