Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy je parciálna diferenciálna rovnica ktorá vychádza zo zachovania hybnosti v kontinuu. Platí pre transport hybnosti v ľubovoľnom kontinuu, kde sa neuplatňujú relativistické javy.

kde je hustota kontinua, je tenzor napätia, a je vektor objemových síl, obvykle predstavovaných gravitáciou. je vektorové pole rýchlostí kontinua a má za premenné čas a súradnice systému.

Po rozložení tenzora napätia na izotropnú a neizotropnú časť, dostaneme:

kde je tenzor viskózneho (tangenciálneho) napätia a je tlak (normálové napätie).

Všetky rovnice popisujúce nerelativistické kontinuum vychádzajú z Cauchyho rovnice dynamickej rovnováhy. Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy je jednou zo základných rovníc popisujúcich transportné fenomény. Pri praktickom použití narážame na prekážky – analytické vyjadrenie tenzora napätia je zolžité, alebo neznáme, preto sa rovnica priamo nepoužíva. Po dosadení patričného vzťahu pre viskozitu dostaneme Navier-Stokesovu rovnicu.

Pokiaľ je kontinuum ideálne (napätie je predstavované len tlakom),
v stacionárnom stave
a mimo gravitačného pôsobenia () dostaneme rovnicu:

Táto rovnica je Bernoulliho rovnica v diferenciálnom tvare a po integrácii dostaneme konvenčný tvar:

Vidíme tak, že Bernoulliho rovnica je dôsledkom zachovávania hybnosti v sústave, ak vyhovuje niektorým zjednodušeniam.

Odvodenie Cauchyho rovnice[upraviť | upraviť zdroj]

Napíšeme si Zákon sily pre element objemu V, ak je plocha, ktorá ho obopína:

Po aplikácii Gaussovej-Ostrogradského vety a sčítaní všetkých zložiek dostaneme

Keďže vektorové pole rýchlosti je závislé od polohy aj od času, derivuje sa zložená funkcia:

Po dosadení do odvodenej rovnice zachovania:

Q.E.D.

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Šesták, J., Rieger, F.: Přenos hybnosti, tepla a hmoty, ČVUT Praha 1998