Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy je parciálna diferenciálna rovnica ktorá vychádza zo zachovania hybnosti v kontinuu. Platí pre transport hybnosti v ľubovoľnom kontinuu, kde sa neuplatňujú relativistické javy.

\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = \nabla \cdot \vec \vec {\sigma} + \mathbf{f}

kde \rho je hustota kontinua, \vec \vec {\sigma} je tenzor napätia, a \mathbf{f} je vektor objemových síl, obvykle predstavovaných gravitáciou. \mathbf{v} je vektorové pole rýchlostí kontinua a má za premenné čas a súradnice systému.

Po rozložení tenzora napätia na izotropnú a neizotropnú časť, dostaneme:

\nabla \cdot \vec \vec {\sigma} = -\nabla p + \nabla \cdot \vec \vec {\tau}

kde \scriptstyle \vec \vec {\tau} je tenzor viskózneho (tangenciálneho) napätia a \scriptstyle {p} je tlak (normálové napätie).

Všetky rovnice popisujúce nerelativistické kontinuum vychádzajú z Cauchyho rovnice dynamickej rovnováhy. Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy je jednou zo základných rovníc popisujúcich transportné fenomény. Pri praktickom použití narážame na prekážky – analytické vyjadrenie tenzora napätia je zolžité, alebo neznáme, preto sa rovnica priamo nepoužíva. Po dosadení patričného vzťahu pre viskozitu dostaneme Navier-Stokesovu rovnicu.

Pokiaľ je kontinuum ideálne (napätie je predstavované len tlakom),
v stacionárnom stave (\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}=0)
a mimo gravitačného pôsobenia (\mathbf{f}=0) dostaneme rovnicu:

\rho \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = -\nabla p

Táto rovnica je Bernoulliho rovnica v diferenciálnom tvare a po integrácii dostaneme konvenčný tvar:

 p_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2

Vidíme tak, že Bernoulliho rovnica je dôsledkom zachovávania hybnosti v sústave, ak vyhovuje niektorým zjednodušeniam.

Odvodenie Cauchyho rovnice[upraviť | upraviť zdroj]

Napíšeme si Zákon sily pre element objemu V, ak  \Sigma je plocha, ktorá ho obopína:

dm a_i = dF_i\,
\rho \int_V \frac{d v_i}{d t} \, dV = \oint_{\Sigma} {\sigma_{ij}} \, dS + \int_V f_i \, dV

Po aplikácii Gaussovej-Ostrogradského vety a sčítaní všetkých zložiek dostaneme

\rho \frac{ d \mathbf{v}}{d t} = \nabla \cdot \vec \vec {\sigma} + \mathbf{f}

Keďže vektorové pole rýchlosti \mathbf{v}(\mathbf{r},t) je závislé od polohy aj od času, derivuje sa zložená funkcia:

\frac{ d \mathbf{v}(\mathbf{r},t)}{d t} = \frac{\partial \mathbf{v}(\mathbf{r},t)}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{v}(\mathbf{r},t)}{\partial \mathbf{r}} \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t} = \frac{\partial \mathbf{v}(\mathbf{r},t)}{\partial t} + \nabla \mathbf{v}(\mathbf{r},t) \cdot \mathbf{v}(\mathbf{r},t)

Po dosadení do odvodenej rovnice zachovania:

\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v}\right) = \nabla \cdot \vec \vec {\sigma} + \mathbf{f}

Q.E.D.

Literatúra[upraviť | upraviť zdroj]

  • Šesták, J., Rieger, F.: Přenos hybnosti, tepla a hmoty, ČVUT Praha 1998