Einsteinov vzťah

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Rovnica vo Walk of Ideas v roku 2006 v Nemecku
E = mc² na taipeiskom mrakodrape Taipei 101 pri príležitosti Svetového roku fyziky 2005

Einsteinov vzťah je zákon vyjadrujúci vzťah medzi energiou a hmotnosťou Syntaktická analýza (parsing) neúspešná (MathML (experimentálne): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle m\,\!} telesa:

kde c je rýchlosť svetla. Einsteinov vzťah má základný význam v modernej fyzike a astrofyzike; dokazuje, že hmotnosť telesa je mierou obsahu jeho energie.

Rovnica E = mc² opísaná Albertom Einsteinom v špeciálnej teórii relativity patrí medzi najslávnejšie rovnice všetkých dôb; poznajú ju aj ľudia, ktorí sa inak o vedu nezaujímajú. Táto rovnica sa stala akýmsi „maskotom vedy“, používa sa ako príklad „zložitej vedy“, čo pravdaže jej zložitosť preceňuje.

Rovnica popisuje vzťah medzi energiou a hmotnosťou:

Energia = hmotnosť · (rýchlosť svetla)²

Podľa tejto rovnice je celkové množstvo energie, ktorú možno z telesa získať, rovné hmotnosti telesa vynásobené druhou mocninou rýchlosťou svetla. V praxi však možno hmotu na energiu prevádzať obvykle len s výrazne nižšou účinnosťou, preto množstvo získanej energie nikdy nedosahuje tejto úrovne. Pri bežných spôsoboch získavania energie (napr. v jadrových elektrárňach) sa totiž na energiu nepremení všetka hmota, časť (obvykle drvivá väčšina) pôvodnej hmoty zostáva ako „odpad“. Príkladom teoreticky úplnej premeny je reakcia hmoty s antihmotou.

Ako historickú zaujímavosť je možné uviesť, že v pôvodnej podobe Einstein túto rovnicu napísal v tvare m = L / c² (pre energiu použil označenie L namiesto E).

Množstvo energie v jednom kilograme (ľubovolnej) hmoty je teda

  • 89 875 517 873 681 764 J (≈ 90 PJ) alebo
  • 24 965 421 632 kWh (≈ 25 TWh ≈ celková ročná spotreba elektrickej energie na Slovensku v r. 2005),
  • čo odpovedá energii uvoľnenej pri výbuchu viac než 21 megaton TNT.

Odvodenie[upraviť | upraviť zdroj]

Nakoľko mnoho ľudí vidí v tejto rovnici niečo nepochopiteľného až nadľudského, k jej odvodeniu stačia iba základy integrálneho počtu.

Vyjdeme zo vzťahu pre kinetickú energiu Ek:

.

Uvažujeme o pôsobení sily rovnobežne s dráhou telesa, možno vynechať vektory:

,

druhý člen možno upraviť podľa vzťahu pre relativistickú hmotnosť:

,
,
Syntaktická analýza (parsing) neúspešná (MathML (experimentálne): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle m^2(c^2-v^2)=m_0^2c^2\,\!} .

Urobíme diferenciál tejto rovnice,

,
Syntaktická analýza (parsing) neúspešná (Conversion error. Server ("https://sk.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle dm(c^{2}-v^{2})=mvdv\,\!}

a dosadíme do pôvodnej rovnice:

.

Na ľavej strane je kinetická energie, je pokojová energia (chemická, jadrová, potenciálna).

je teda celková energia telesa.