Elastická kolízia

Simulácia pružných zrážok častíc (molekúl) v uzavretej štvorcovej oblasti. Pri zrážkach dochádza popri zachovaniu kinetickej energie aj zachovanie hybnosti; pri zrážke so stenou dochádza k odraze častice analogicky ako dochádza k odrazu svetla od rozhrania.

Elastická kolízia alebo pružná zrážka dvoch častíc je taká zrážka, pri ktorej sa nemení vnútorný stav častíc, nedochádza k premene mechanickej energie na iné formy energie, ako napríklad teplo, zvuk a potenciálnu energiu – zachováva sa teda kinetická energia kolidujúcich objektov. Z dôvodu nemennosti vnútornej stavby častíc teda nemusíme pri štúdiu elastických kolízií brať do úvahy vnútornú energiu častíc.

Počas samotnej kolízie dochádza k premene kinetickej energie na potenciálnu. Táto premena závisí od zákona interakcie medzi kolidujúcimi časticami, závisí teda od interakčného potenciálu (napr. Coulombov potenciál pre zrážky atómov). Zákony zachovania však poskytujú množstvo informácie o stave častíc pred a po zrážke.

Zrážky medzi atómami sú elastického charakteru, napr. rozptyl alfa častíc na atómoch zlata, tzv. Rutherfordov rozptyl, je veľmi dobre popísaný aparátom klasickej mechaniky, t.j. Newtnovsky (klasicky) popísanými elastickými kolíziami. Zrážky molekúl tekutín a zrážky makroskopických objektov (napr. biliardových gulí) možno v niektorých prípadoch aproximovať elastickými kolíziami.

Jednorozmerné kolízie

Newtonovský popis

Americký profesor Walter Lewin vysvetľujúci jednorozmerné pružné zrážky.

Majme dve častice (hmotné body) hmotností $m_{1}$ a $m_{2}$ pohybujúce sa rýchlosťami $v_{1}$ a $v_{2}$ v jednom rozmere (znamienko rýchlosti určuje smer pohybu). Označme $u_{1}$ a $u_{2}$ rýchlosti častíc po zrážke. Z definície elastických kolízií platí, že sa zachováva kinetická energia častíc, t.j. platí rovnica

${\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}$.

Keďže na náš systém nepôsobí žiadna externá sila, zachováva sa celková hybnosť častíc, môžeme teda písať

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$.

Riešiť elastickú kolíziu dvoch častíc v jednom rozmere teda znamená riešiť sústavu rovníc

${\begin{cases}m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}=m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2},\\m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2},\end{cases}}$

pre neznáme výsledné rýchlosti $u_{1}$ a $u_{2}$.

Pomocné tvrdenie

Predtým, než sa pustíme k riešeniu uvedenej sústavy rovníc si dokážeme pomocné tvrdenie:

Relatívne rýchlosti častíc pred a po kolízii sú navzájom opačné, t.j. relatívna rýchlosť častíc pred kolíziou je mínus relatívna rýchlosť častíc po kolízii.

Zo zákonu zachovania hybnosti (druhá rovnica našej sústavy rovníc) máme

$m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})$.

Keďže prípad $v_{1}=u_{1}$, $v_{2}=u_{2}$ je triviálne riešenie (nedošlo ku kolízii, častice "prešli cez seba" bez interakcie), uvažujme prípad, kde rozdiel počiatočných a konečných rýchlostí je nenulový. Dostávame tak

${\frac {m_{1}(v_{1}-u_{1})}{m_{2}(u_{2}-v_{2})}}=1$.

Zo zákona zachovania energie (prvá rovnica v našej sústave rovníc) máme

$m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})$.

Ďalej využijeme formulu $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$, teda

$m_{1}(v_{1}-u_{1})(v_{1}+u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})(u_{2}+v_{2})\implies {\frac {m_{1}(v_{1}-u_{1})}{m_{2}(u_{2}-v_{2})}}(v_{1}+u_{1})=v_{2}+u_{2}$.

Ale keďže uvedený zlomok násobiaci súčet $v_{1}+u_{1}$ je rovný jednej, dostávame

$v_{1}+u_{1}=v_{2}+u_{2}$,

z čoho máme

$v_{1}-v_{2}=-(u_{1}-u_{2})$,

čo sme chceli ukázať.

Konečné riešenie

Dokázaním spomenutého pomocného tvrdenia môžeme našu pôvodnú sústavu rovníc prepísať na sústavu dvoch lineárnych rovníc, ktorej riešenie je jednoduchšie. Konkrétne riešime systém

${\begin{cases}m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2},\\v_{1}+u_{1}=v_{2}+u_{2}.\end{cases}}$

Vyjadrením rýchlosti $u_{1}$ z druhej rovnice ako $u_{1}=v_{2}-v_{1}+u_{2}$ a dosadením do prvej rovnice dostávame

$m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}v_{2}-m_{1}v_{1}+m_{1}u_{2}+m_{2}u_{2}$,

a teda

$u_{2}={\frac {2m_{1}v_{1}+(m_{2}-m_{1})v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$.

Dosadením výrazu pre $u_{2}$ do výrazu pre $u_{1}$ dostávame finálnu formulu pre konečné rýchlosti $u_{1},\ u_{2}$ častíc s hmotnosťami $m_{1},\ m_{2}$ (s počiatočnými rýchlosťami $v_{1},\ v_{2}$):

$u_{1}={\frac {2m_{2}v_{2}+(m_{1}-m_{2})v_{1}}{m_{1}+m_{2}}}$,

$u_{2}={\frac {2m_{1}v_{1}+(m_{2}-m_{1})v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$.

Konkrétne príklady

V prípade, že obe častice majú rovnakú hmotnosť sa kolízia prejaví zmenou vzájomnou výmenou hybností dvoch častíc. Môžeme to vidieť na nasledujúcich ilustráciách:

Jednorozmerná elastická dvoch častíc s rovnakými hmotnosťami, pričom jedna z častíc je stacionárna.

Jednorozmerná elastická kolízia dvoch častíc s rovnakými hmotnosťami, pričom obe častice sa pohybujú.

Vo všeobecnejšom prípade je potrebné použiť nami odvodené vzťahy pre finálne rýchlosti po zrážke. Nasledujúca ilustrácia zobrazuje kolíziu dvoch častíc s rovnakou, ale v znamienku opačnou rýchlosťou, pričom jedná z častíc má dvojnásobnú hmotnosť ako druhá:

Jednorozmerná elastická kolízia dvoch všeobecnejších častíc.

Laboratórna a ťažisková vzťažná sústava

Opis elastických kolízií sa značne zjednodušení zavedením dvoch inerciálnych vzťažných sústav – laboratórnej a ťažiskovej vzťažnej sústavy. Použitie týchto sústav má najväčší význam pri trojrozmerných (resp. dvojrozmerných) kolíziách.

• Laboratórna vzťažná sústava je taká inerciálna vzťažná sústava, v ktorej je jedna z častíc v pokoji a druhá sa pohybuje rýchlosťou $v$ (napr. sústava pri ostreľovaní nehybných atómov zlata alfa časticami pri Rutherfordovom experimente).
• Ťažisková vzťažná sústava je taká inerciálna vzťažná sústava, v ktorej je ťažisko častíc $m_{1}$ a $m_{2}$ v pokoji.

Poloha ťažiska $x_{T}$ je polohami $x_{1}$ a $x_{2}$ našich častíc daná ako

$x_{T}={\frac {m_{1}x_{1}+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$,

teda pre rýchlosť ťažiska platí (bodka nad veličinou označuje časovú deriváciu)

${\dot {x}}_{T}={\frac {m_{1}{\dot {x}}_{1}+m_{2}{\dot {x}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{1}v}{m_{1}+m_{2}}}$,

za predpokladu že druhá častica je v laboratórnej vzťažnej sústave v pokoji. Ak chceme vyjadriť rýchlosti $v_{1}^{T}$ a $v_{2}^{T}$ častíc $m_{1}$ a $m_{2}$ v ťažiskovej vzťažnej sústave (kde horný index $T$ značí, že sa nachádzame v ťažiskovej vzťažnej sústave), musíme transformovať rýchlosti z laboratórnej vzťažnej sústavy do ťažiskovej využijúc Galileiho transformáciu:

$v_{1}^{T}=v-{\dot {x}}_{T}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v$,

$v_{2}^{T}=0-{\dot {x}}_{T}=-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}v$.

Zo zákonu zachovania hybnosti máme (ak označíme $u_{1}^{T},\ u_{2}^{T}$ konečné rýchlosti častíc po zrážke)

$m_{1}v_{1}^{T}+m_{2}v_{2}^{T}=m_{1}u_{1}^{T}+m_{2}u_{2}^{T}$,

ale keďže

$m_{1}v_{1}^{T}+m_{2}v_{2}^{T}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v-{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v=0$,

tak dostávame, že hybnosti častíc po zrážke sú v absolútnej hodnote totožné. Zo zákona zachovania energie máme

$m_{1}(v_{1}^{T})^{2}+m_{2}(v_{2}^{T})^{2}=m_{1}(u_{1}^{T})^{2}+m_{2}(u_{2}^{T})^{2}$,

ale

$m_{1}(v_{1}^{T})^{2}+m_{2}(v_{2}^{T})^{2}={\frac {m_{1}m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}v^{2}+{\frac {m_{2}m_{1}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}v^{2}={\frac {m_{1}m_{2}(m_{1}+m_{2})}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}v^{2}$;

$m_{1}(v_{1}^{T})^{2}+m_{2}(v_{2}^{T})^{2}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}v^{2}$.

Keďže platí, že výsledné hybnosti sú v absolútnej hodnote totožné, môžeme povedať $u_{1}^{T}=-{\frac {m_{2}}{m_{1}}}u_{2}^{T}$. Dosadením to rovnice pre zákon zachovania energie dostávame

$m_{1}(u_{1}^{T})^{2}+m_{2}(u_{2}^{T})^{2}={\frac {m_{2}^{2}}{m_{1}}}(u_{2}^{T})^{2}+m_{2}(u_{2}^{T})^{2}={\frac {m_{2}}{m_{1}}}(m_{1}+m_{2})(u_{2}^{T})^{2}$.

Porovnaním s predchádzajúcim výsledkom máme pre kvadráty výsledných rýchlostí nasledujúce formuly

$(u_{1}^{T})^{2}={\frac {m_{2}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}v^{2}$;

$(u_{2}^{T})^{2}={\frac {m_{1}^{2}}{(m_{1}+m_{2})^{2}}}v^{2}$,

čo znamená, že výsledné rýchlosti sú v ťažiskovej sústave vo veľkosti totožné, ako pôvodné rýchlosti. Vcelku teda máme, že v ťažiskovej sústave sa kolízia redukuje na zmenu smeru rýchlosti častíc, pričom veľkosti týchto rýchlostí sú po zrážke totožné ako pred zrážkou – ťažisková sústava je týmto faktom výnimočná; zovšeobecnenie do viac rozmerov je triviálne, platí tam rovnaké tvrdenie.

Trojrozmerné kolízie

Majme častice $m_{1},\ m_{2}$ v laboratórnej vzťažnej sústave (pozri predchádzajúcu sekciu), pričom častica $m_{2}$ je v tejto sústave v pokoji a častica $m_{1}$ sa pohybuje rýchlosťou $\mathbf {v}$. Označme rýchlosti týchto častíc v ťažiskovej sústave ako $\mathbf {v} _{1}^{T},\ \mathbf {v} _{2}^{T}$. Výsledné rýchlosti v laboratórnej sústave nech sú $\mathbf {u} _{1},\ \mathbf {u} _{2}$; označenie výsledných rýchlosti v ťažiskovej sústave nech má horný index $T$. Pre pôvodné rýchlosti v ťažiskovej sústave máme

$\mathbf {v} _{1}^{T}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {v}$;

$\mathbf {v} _{2}^{T}=-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {v}$,

pričom odvodenie je totožné ako v jednorozmernom príklade. Rovnakými úvahami, ako v jednorozmernom prípade dospejeme k záveru, že zo zákonu zachovania energie a zákonu zachovania hybnosti platí, že v ťažiskovej sústave sa kolízia redukuje na zmenu smeru rýchlosti častíc, pričom rýchlosti častíc sú navzájom opačné a vo veľkostí totožné ako ich pôvodné rýchlosti. Nech $\mathbf {n}$ je jednotkový vektor smeru pohybu prvej častice po zrážke, potom máme pre výsledné rýchlosti v ťažiskovej sústave ($|\cdot |$ označuje veľkosť vektora)

$\mathbf {u} _{1}^{T}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}|\mathbf {v} |\mathbf {n}$;

$\mathbf {u} _{2}^{T}=-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}|\mathbf {v} |\mathbf {n}$,

alebo v laboratórnej sústave

$\mathbf {u} _{1}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}|\mathbf {v} |\mathbf {n} +{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {v}$;

$\mathbf {u} _{2}=-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}|\mathbf {v} |\mathbf {n} +{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {v}$.

Smer $\mathbf {n}$, t.j. smer odrazu prvej častice (a v princípe aj druhej) závisí od konkrétnej povahy interakcie medzi časticami (napr. Coulombova interakcia pri zrážkach atómov).

Geometrický pohľad

Preskúmajme aké sú uhly, pod ktorými sa naše častice po zrážke pohybujú. Označme hybnosť prvej častice pred zrážkou v laboratórnej sústave ako $\mathbf {p} =m_{1}\mathbf {v}$. Častice po zrážke nadobudnú hybnosti $\mathbf {q} _{1}=m_{1}\mathbf {u} _{1}$ a $\mathbf {q} _{2}=m_{2}\mathbf {u} _{2}$ v laboratórnej sústave. Dosadením výrazov pre $\mathbf {u} _{1},\ \mathbf {u} _{2}$ z predchádzajúcej sekcie dostávame

$\mathbf {q} _{1}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}|\mathbf {v} |\mathbf {n} +{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {p}$;

$\mathbf {q} _{2}=-{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}|\mathbf {v} |\mathbf {n} +{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {p}$.

Nech teraz os $x$ je určená vektorom $\mathbf {p}$, t.j. $\mathbf {p} /|\mathbf {p} |=(1,0,0)$. Vektory $\mathbf {p} ,\ \mathbf {n} ,\ \mathbf {q_{1}} ,\ \mathbf {q_{2}}$ sú komplanárne, ležia teda v jednej rovine (povedzme v $xy$ rovine). Označme odklony vektorov $\mathbf {n} ,\ \mathbf {q_{1}} ,\ \mathbf {q_{2}}$ od vektora $(1,0,0)$ postupne $\phi ,\ \theta _{1},\ \theta _{2}$; uhol $\phi$ určuje smer pohybu prvej častice v ťažiskovej sústave; uhly $\theta _{1},\ \theta _{2}$ určujú smer pohybu častíc v laboratórnej sústave.

Ak poznáme uhol $\phi$, potom vieme o pohybe častíc v laboratórnej sústave všetko. Vyjadrime teda uhly $\theta _{1},\ \theta _{2}$ pomocou uhla $\phi$. Skalárne vynásobme rovnicu pre $\mathbf {q} _{1}$ vektorom $(1,0,0)$, pričom si uvedomíme, že skalárny súčin dvoch vektorov je daný ako $\mathbf {a} \cdot {}\mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos {(\varphi )}$, kde $\varphi$ je uhol medzi danými vektormi. Dostávame tak

$|\mathbf {q} _{1}|\cos {\theta _{1}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}|\mathbf {v} |\cos {\phi }+{\frac {m_{1}^{2}}{m_{1}+m_{2}}}|\mathbf {v} |$.

Ak znova skalárne vynásobíme rovnicu pre $\mathbf {q_{1}}$, tentokrát vektorom $(0,1,0)$, dostávame

$|\mathbf {q} _{1}|\cos {(\pi /2-\theta _{1})}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}|\mathbf {v} |\cos {(\pi /2-\phi )}$,

keďže uhol medzi našimi vektormi a $(0,1,0)$ je doplnok ich uhlov od vektora $(1,0,0)$ do pravého uhla. Využitím formuly$\cos {(\pi /2-\varphi )}=\sin \varphi$ dostávame

$|\mathbf {q} _{1}|\sin {\theta _{1}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}|\mathbf {v} |\sin {\phi }$.

Ak predelíme nami odvodené formuly, dostaneme vyjadrenie pre tangens uhla $\theta _{1}$

$\tan {\theta _{1}}={\frac {m_{2}\sin {\phi }}{m_{2}\cos {\phi }+m_{1}}}$.

Rovnakým spôsobom dostaneme vyjadrenie aj pre tangens uhla $\theta _{2}$, konkrétne

$\tan {\theta _{2}}={\frac {\sin {\phi }}{1-\cos {\phi }}}$.

Treba poznamenať, že pre priamu kolíziu ($\phi =0$) daná formula neplatí, keďže v menovateli by sme dostali nulu. Dané vyjadrenie môžeme upraviť, nakoľko $\sin {\varphi }/(1-\cos {\varphi })=\cot {(\varphi /2)}$, teda

$\tan {\theta _{2}}=\cot {\frac {\phi }{2}}\implies \tan {\frac {\phi }{2}}=\cot {\theta _{2}}=\tan {(\pi /2-\theta _{2})}$.

Riešením tejto trigonometrickej rovnice dostaneme vyjadrenie pre uhol $\theta _{2}$ (keďže funkcia tangens je injektívna na intervale $(-\pi /2,\ \pi /2)$, stačí porovnať argumenty tangensov). Vcelku teda máme pre uhly odklonu v laboratórnej sústave

$\tan {\theta _{1}}={\frac {m_{2}\sin {\phi }}{m_{2}\cos {\phi }+m_{1}}}$;

$\theta _{2}={\frac {\pi -\phi }{2}}$.

Zrážky častíc rovnakej hmotnosti

Bývalý americký prezident Barack Obama hrajúci americký biliard (pool).

V prípade, že zrážajúce sa častice majú rovnakú hmotnosť sa zrážka výrazne zjednoduší. Platí nasledujúce tvrdenie

Uhol, pod ktorými sa dve častice v laboratórnej vzťažnej sústave rozletia po zrážke je v prípade čelnej zrážky nulový, v inom prípade je rovný pravému uhlu.

Daný jav môžeme s veľkou presnosťou pozorovať pri zrážkach biliardových gulí. Prípad čelnej zrážky zodpovedá "prenosu" hybnosti z jednej gule na druhú. V inom prípade máme kolmé rozletenie gulí – fakt, ktorý je hráčom biliardu veľmi známy.

Matematický dôkaz daného tvrdenia je jednoduchý. Čelná zrážka je z definície taká, kde uhol odrazu prvej častice je $\phi =0$ (resp. $\pi$ pri spätnom odraze); kolízia sa redukuje na jednorozmernú pružnú zrážku, kde dochádza len k "prenosu" hybnosti prvej častice na druhú (pozri sekciu o jednorozmerných zrážkach).

V prípade, že uhol rozptylu prvej častice je v ťažiskovej sústave nenulový, môžeme použiť odvodené vzťahy pre uhly rozptylu v laboratórnej sústave. Pre $m_{1}=m_{2}=m$ dostávame

$\tan {\theta _{1}}={\frac {m_{2}\sin {\phi }}{m_{2}\cos {\phi }+m_{1}}}={\frac {m\sin {\phi }}{m\cos {\phi }+m}}={\frac {\sin \phi }{1+\cos {\phi }}}$,

alebo keďže $\sin(\varphi )/(1+\cos {\varphi })=\tan {(\varphi /2)}$, tak dostávame trigonometrickú rovnicu

$\tan {\theta _{1}}=\tan {\frac {\phi }{2}}$,

ktorej riešenie je $\theta _{1}=\phi /2$ (z injektívnosti tangensu). Pre uhol rozptylu druhej častice platí $\theta _{2}=(\pi -\phi )/2$. Súčet týchto dvoch uhlov je uhol, pod ktorým sa častice rozletia po zrážke. Konkrétne dostávame

$\theta _{1}+\theta _{2}={\frac {\phi }{2}}+{\frac {\pi -\phi }{2}}={\frac {\pi }{2}}$,

čo sme chceli ukázať.