Euklidova veta

Obrázok s popísanými úsečkami vyskytujúcimi sa v Euklidových vetách.

Ako Euklidove vety sa označujú dve matematické vety týkajúce sa pravouhlého trojuholníka. Pomenované sú po svojom objaviteľovi, gréckom matematikovi Eukleidovi z Alexandrie.

Euklidova veta o výške

Obsah štvorca zostrojeného nad výškou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z oboch úsekov na prepone.

$v_{c}^{2}=c_{a}.c_{b}$

Dôkaz pomocou Pytagorovej vety

   c = ca + cb
   vc2 = a2 − ca2
   vc2 = b2 − cb2

Rovnice sčítame:

   2vc2 = a2 + b2 − ca2 − cb2

Upravíme prvé dva členy podľa Pytagorovej vety:

   2vc2 = c2 − ca2 − cb2

Rozpíšeme dĺžku prepony:

   c2 = (ca + cb)2

Dosadíme:

   2vc2 = (ca + cb)2 − ca2 − cb2
   2vc2 = ca2 + 2ca cb + cb2 − ca2 − cb2
   2vc2 = 2cacb

Vydelíme dvomi:

   vc2 = ca . cb

Euklidova veta o odvesne

Obsah štvorca zostrojeného nad odvesnou pravouhlého trojuholníka sa rovná obsahu obdĺžnika zostrojeného z prepony a úseku na prepone priľahlého k odvesne. Pre jednotlivé odvesny trojuholníka teda platí:

$a_{\Delta }^{2}=c.c_{a}$

$b_{\Delta }^{2}=c.c_{b}$

Dôkaz pomocou Pytagorovej vety

   vc2 = a2 − ca2
   vc2 = b2 − (c − ca)2 = b2 − c2 + 2cca −ca2

Vytvoríme jednu rovnicu:

   a2 − ca2 = b2 − c2 + 2cca −ca2

Vyjadríme b² − c² pomocou a:

   a2 + b2 = c2
   b2 − c2 = −a2

Dosadíme:

   a2 = −a2 + 2cca
   2a2 = 2cca

Vydelíme dvomi:

   a2 = c . ca

Dôkaz pomocou Euklidovej vety o výške

Predpokladáme, že platí Euklidova veta o výške (dôkaz vyššie), z Pytagorovej vety vyplýva:

   a2 = vc2 + ca2
   a2 = ca cb + ca2
   a2 = (cb + ca) ca
   a2 = c . ca

Pozri aj

• Euklides