Eulerovský ťah

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Skočit na navigaci Skočit na vyhledávání
Sedem mostov mesta Kaliningrad zobrazených ako graf

V teórii grafov sa termínom eulerovský ťah označuje taký ťah, ktorý obsahuje každú hranu grafu práve jeden krát. Zaviedol ho Leonhard Euler, keď sa v roku 1736 pokúšal vyriešiť slávny problém siedmych mostov cez Pregoľu v Kráľovci (nem. Königsberg, dnešný Kaliningrad) vo Východnom Prusku.

Ak existuje v grafe uzavrený eulerovský ťah, nazývame tento graf taktiež eulerovský.[1] Eulerovské grafy je možné nakresliť „jedným ťahom“. Eulerovské grafy majú každý vrchol párneho stupňa.[2]

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Eulerovský ťah v neorientovanom grafe je taký ťah v ktorom použijeme každú hranu práve raz. Ak takýto ťah existuje graf voláme „prejazdný“ alebo semi-eulerovský.[3]

Ak je neorientovaný graf a postupnosť, pre ktorú platí, že , nazývame túto postupnosť eulerovským ťahom. Ak je , nazývame tento ťah uzavretým.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

  • neorientovaný graf je eulerovský, ak je súvislý a každý jeho vrchol má párny stupeň,
  • neorientovaný graf je eulerovský, ak je súvislý a ak má práve 2 vrcholy nepárneho stupňa (eulerov ťah bude potom otvorený),
  • neorientovaný graf je eulerovský, ak je súvislý a ide ho rozložiť na hranovo disjunktné cykly.

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. Základní pojmy z teorie grafů. [1]
  2. C. L. Mallows, N. J. A. Sloane. Two-graphs, switching classes and Euler graphs are equal in number. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1975, s. 876–880. DOI10.1137/0128070.
  3. Jun-ichi Yamaguchi, Introduction of Graph Theory.