Exponenciálne rozdelenie

Exponenciálne rozdelenie (iné názvy: exponenciálne pravdepodobnostné rozdelenie, exponenciálne rozdelenie pravdepodobnosti) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Exponenciálne rozdelenie vyjadruje čas medzi náhodne sa vyskytujúcimi udalosťami. Využíva sa napríklad v poistnej matematike pri určovaní (pravdepodobnostného) rozdelenia výšky poistného plnenia alebo času medzi nastatiami poistných udalostí, ďalej napríklad vo fyzike pri modelovaní času rádioaktívneho rozpadu, či v systémoch hromadnej obsluhy.

Definícia

Spojitá náhodná premenná $X$ má exponenciálne rozdelenie s parametrom $\lambda >0$ práve vtedy, ak jej hustota pravdepodobnosti má nasledovný tvar:

$f_{X}(x)={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&;x\geq 0,\\0&;x<0.\end{cases}}$

Označujeme:

• $\operatorname {X} \sim Exp(\lambda )$

Základné charakteristiky rozdelenia

Stredná hodnota:

$E[X]={\frac {1}{\lambda }}$

Rozptyl:

$D[X]={\frac {1}{\lambda ^{2}}}$

Koeficient šikmosti:

$\operatorname {\gamma } _{1}=2$

Momentová vytvárajúca funkcia:

$m(t)={\frac {\lambda }{\lambda -t}}$

pre $t<\lambda$

Distribučná funkcia:

$F(x)={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&;x\geq 0,\\0&;x<0.\end{cases}}$

Zdroje

• ZVÁRA, Karel; ŠTĚPÁN, Josef. Pravděpodobnost a matematická statistika. Bratislava : VEDA : Vydavateľstvo Slovenskej akadémie vied, 2002. ISBN 80-2240736-4. S. 230. (čeština)
• JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Stredná hodnota a momenty. Úvod do teórie Lebesgueovho integrálu., s. 150.
• PACÁKOVÁ, Viera. Aplikovaná poistná štatistika. Bratislava : IURA EDITION, 2004. ISBN 80-8078-004-8. Kapitola Pravdepodobnostné rozdelenia v poisťovníctve, s. 261.
• SKŘIVÁNKOVÁ, Valéria. Pravdepodobnosť a štatistika [online]. Košice: Univerzita Pavla Jozefa Šafárika, 2003-07-11, [cit. 2012-01-29]. Dostupné online.