Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie (pravdepodobnosti) (iné názvy: Fisherovo-Snedecorovo pravdepodobnostné rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo F-rozdelenie, Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie F, Fisherovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), Snedecorovo (F-)rozdelenie (pravdepodobnosti), F-rozdelenie (pravdepodobnosti), rozdelenie F) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike spojité rozdelenie pravdepodobnosti.

Rozdelenie je pomenované podľa Ronaldovi Aylmerovi Fisherovi a Georgeovi Waddelovi Snedecorovi, dvoch významných matematikoch.

Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie má v matematickej štatistike veľmi významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz. Pri tomto testovaní sa využívajú kritické hodnoty F-rozdelenia, ktoré sú tabelované a na základe nich vieme testovanú štatistickú hypotézu prijať alebo zamietnuť.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Nech je náhodná premenná, nech , a nech a prirodzené čísla. Hovoríme, že má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s a stupňami voľnosti (môžeme tiež písať: (m, n) - stupňami voľnosti), ak jej hustota rozdelenia má nasledovný tvar:

kde označenie označuje gama funkciu (ktorá sa tiež nazýva aj Eulerov integrál druhého druhu) a je definovaná nasledovne:

Označenie:

Ďalšie vyjadrenia[upraviť | upraviť zdroj]

Náhodnú premennú X, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch -kvadrátov, a to nasledovne:
Majme dve náhodné premenné a , ktoré sú nezávislé. Nech o nich platí, že -kvadrát rozdelenie s stupňami voľnosti a nech má -kvadrát rozdelenie s stupňami voľnosti, teda: a . Potom náhodná premenná definovaná vzťahom:

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s a stupňami voľnosti.

Rozdelenie môžeme tiež vyjadriť aj pomocou dvoch náhodných výberov z normálneho rozdelenia, a to nasledovne:
Majme náhodný výber z nejakého základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie , ďalej majme náhodný výber z ďalšieho základného súboru, ktorý má normálne rozdelenie . Nech a sú výberové rozptyly a nech pre , , a platí nasledovné:

Potom náhodná premenná definovaná vzťahom:

má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s a stupňami voľnosti (alebo: -stupňami voľnosti).

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Ako vidíme z definície, toto rozdelenie závisí od počtu stupňov voľnosti. Graf rozdelenia je asymetrický.
Pokiaľ má náhodná premenná Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie, tak potom jej začiatočný moment má nasledovný tvar:

Z tohto vzťahu ľahko vidíme, že pre strednú hodnotu a disperziu náhodnej premennej s Fisherovým-Snedecorovým rozdelením platí nasledovné:

 ; pre

 ; pre

Kritická hodnota[upraviť | upraviť zdroj]

Kritické hodnoty sa využívajú pri testovaní štatistických hypotéz a pre Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie sú tabelované. Kritickú hodnotu môžeme zadefinovať nasledovne:

Nech je náhodná premenná, ktorá má Fisherovo-Snedecorovo rozdelenie s a stupňami voľnosti. Potom hodnotu , ktorú náhodná premenná presiahne so zvolenou pravdepodobnosťou nazývame kritickou hodnotou Fisherovho-Snedecorovho rozdelenia. Teda matematicky zapísané:

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]

Zdroje[upraviť | upraviť zdroj]

  • RIEČAN, Beloslav; LAMOŠ, František; LENÁRT, Cyril. Pravdepodobnosť a matematická štatistika. Bratislava : ALFA – vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry Bratislava, 1984. Kapitola Popisná štatistika a výberové metódy – Výber z normálneho rozdelenia, s. 320.
  • LAMOŠ, František; POTOCKÝ, Rastislav. Pravdepodobnosť a matematická štatistika - Štatistické analýzy. Bratislava : Vydavateľstvo Univerzity Komenského v Bratislave, 1998. ISBN 80-223-1262-2. Kapitola Niektoré typy rozdelenia pravdepodobnosti, s. 344 strán.
  • JANKOVÁ, Katarína; PÁZMAN, Andrej. Pravdepodobnosť a štatistika. Bratislava : Vydavateľstvo UK, 2011. ISBN 978-80-223-2931-6. Kapitola Dôležité rozdelenia odvodené od normálneho, s. 150.
  • BARNOVSKÁ, Mária, kol. Cvičenia z matematickej analýzy III.. [s.l.] : MFF UK, 2005. Dostupné online. Kapitola Parametrické integrály – Eulerove integrály, s. 156.