Gaussova veta

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Gaussova veta (iné názvy: (Gaussova-)Ostrogradského (integrálna) veta, Gaussova-Ostrogradského formula, Greenova(-Ostrogradského) veta, Greenova transformácia, (Gaussova) veta o divergencii) je veta matematickej analýzy, ktorá uvádza do súvislosti tok vektorového poľa A(r) uzavretou jednoducho súvislou hladkou plochou Σ s integrálom cez objem V plochou uzavrený z divergencie daného vektorového poľa.

,

kde je divergencia vektorového poľa A(r), ∇ je operátor nabla a plocha Σ = ∂V je hranice kompaktnej množiny V, ktorá je orientovaná vektorom vonkajšej normály, tzn. a n je vektor vonkajšej normály plochy, a je regulárna a otvorená množina.


Z fyzikálneho hľadiska vyjadruje Gaussova veta skutočnosť, že tok vektoru A uzavrenou plochou je rovný objemovému integrálu z divergencie vektoru A.

Pre skalárnu veličinu f možno zaviesť jej tok uzavretou plochou S vzťahom

Pre tenzorovú veličinu využijeme skutočnosti, že po kontrakcii je tenzorom prvého stupňa. Gaussovu vetu pre tenzorovú veličinu potom môžeme vyjadriť ako

Okrem uvedených vzťahov platí pre vektor A tiež vzťah