Geometrický rad

Geometrický rad ${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots$ znázornený ako obsah fialových štvorcov. Každý fialový štvorec má štvrtinu obsahu väčšieho štvorca: ${\frac {1}{4}}\times 1={\frac {1}{4}}$, ${\frac {1}{4}}\times {\frac {1}{4}}={\frac {1}{16}}$... Dokopy fialové štvorce zaberajú jednu tretinu celehó štvorca, teda daný nekonečný rad konverguje k ${\frac {1}{3}}$.

Geometrický rad je rad vytvorený sumovaním členov nekonečnej geometrickej postupnosti – t.j. postupnosti, kde podiel dvoch po sebe idúcich členov je konštantný a nazýva sa kvocient. Napríklad rad ${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{256}}+\cdots$ je geometrický rad s kvocientom ${\frac {1}{4}}$, ktorý konverguje k hodnote ${\frac {1}{3}}$.

Geometrické rady sú vo väčšine prípadov radmi reálnych alebo komplexných čísel. V tomto prípade je všeobecný geometrický rad s počiatočným členom $a$ a kvocientom $q$, pričom $a,q\in \mathbb {C}$ (resp. $\mathbb {R}$), typu $a+aq+aq^{2}+aq^{3}+\cdots$, čo môžeme kompaktne zapísať pomocou sumačnej sigma notácia ako

$\sum _{n=0}^{\infty }aq^{n}$.

Okrem reálnych a komplexných geometrických radov môžeme uvažovať aj o radoch tvorenými funkciami, maticami, resp. inými abstraktnými algebrickými prvkami polí alebo okruhov.

Definícia geometrického radu

Uvažujme nekonečnú geometrickú postupnosť $\{a_{n}\}$ reálnych (resp. komplexných) čísel s kvocientom $q$, t.j. postupnosť definovanú rekurentným vzorcom

$a_{n+1}=a_{n}q$,

pričom $a_{0}=a$ je počiatočný člen postupnosti. Uvažujme ďalej postupnosť čiastkových súčtov $\{s_{k}\}$ tejto postupnosti definovanú vzorcom

$s_{k}=\sum _{n=0}^{k}a_{n}$.

Geometrickým radom nazývame limitu tejto postupnosti, a označujeme ju nasledovne

$\lim _{k\to \infty }s_{k}=\lim _{k\to \infty }\sum _{n=0}^{k}a_{n}:=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$.

Keďže geometrickú postupnosť reálnych (resp. komplexných) čísel s kvocientom $q$ a počiatočným členom $a$ môžeme zapísať ako postupnosť $\{aq^{n}\}$, je geometrický rad vo všeobecnosti rad tvaru

$\sum _{n=0}^{\infty }aq^{n}$.

Konvergencia geometrického radu

Uvažujme geometrický rad $\sum _{n=0}^{\infty }aq^{n}$, pričom $a,q\in \mathbb {C}$. Tento rad konverguje absolútne pre hodnoty kvocientu v absolútnej hodnote menšej ako 1, navyše platí

$\sum _{n=0}^{\infty }aq^{n}={\frac {a}{1-q}}$.

Dôkaz konvergencie

Vezmime najprv také $q\in \mathbb {C}$, že $|q|\geq 1$. Potom nie je splnená nutná podmienka konvergencie radov, ktorá vraví, že ak nejaký rad $\sum a_{n}$ konverguje, tak ${\text{lim}}_{n\to \infty }a_{n}=0$; táto podmienka nie je splnená, nakoľko ${\text{lim}}_{n\to \infty }q^{n}$ diverguje do nekonečna pre $|q|>1$ (v komplexnej analýze je toto tvrdenie pravdivé, v reálnej analýze neexistuje limita v prípade $q<-1$), je rovná 1 pre $q=1$ a neexistuje pre ostatné komplexné jednotky ($e^{i\theta }$). Keďže pre tieto hodnoty kvocientu nie je splnená nutná podmienka konvergecie, tak preň rad nemôže konvergovať.

Pre ostatné hodnoty kvocientu $q$ môžeme použiť vzorec pre čiastkové súčty $s_{k}$ geometrickej postupnosti (pozri článok Geometrická postupnosť):

$s_{k}=\sum _{n=0}^{k}aq^{n}=a{\frac {q^{n+1}-1}{q-1}}$.

Nakoľko ${\text{lim}}_{n\to \infty }q^{n}$ je rovná nule pre hodnoty kvocientu $|q|<1$, dostávame

$\lim _{k\to \infty }s_{k}:=\sum _{n=0}^{\infty }aq^{n}=a{\frac {-1}{q-1}}={\frac {a}{1-q}}$.

Keďže daná limita existuje, tak uvedený nekonečný geometrický rad konverguje. Navyše, ak sčítame absolútne hodnoty jednotlivých sčítancov nášho radu, t.j. rad $\sum _{n=0}^{\infty }|aq^{n}|$, tak tento rad opäť konverguje; geometrický rad teda konverguje absolútne.

Využitie geometrického radu

Zápis periodických čísel pomocou zlomku

Pomocou geometrických radov dokážeme zapísať ľubovoľné periodické číslo zlomkom. Pod periodickým číslom myslíme napr. číslo $13,1215121512151215\dots$ Takéto periodické čísla môžeme skrátene zapísať ako $13,{\overline {1215}}$ – týmto zápisom sa myslí, že za desatinnou čiarkou sa štvorčíslie 1215 periodicky opakuje. Ľubovoľné periodické číslo môžeme zapísať zlomkom. Platí teda tvrdenie:

Každé periodické číslo je racionálne.

Dôkaz

Nech $p$ je ľubovoľné, ale fixné, periodické číslo. Predpokladajme, že opakované cifry (perióda) nastanú až od $n$-tého desatinného miesta, potom číslo $p$ môžeme rozložiť na súčet dvoch čísel $r$ a $s$, pričom číslo $r$ obsahuje celú časť čísla $p$ a jeho $n-1$ prvých desatinných miest; číslo $r$ je teda racionálne. Stačí ukázať, že číslo $s$, ktoré je tvaru

$s=\operatorname {sgn} {(p)}\times \ 0,00\dots 0\ {\text{abc}}\dots {\text{abc}}\dots$,

kde $a,b,c,\dots \in \mathbb {N} \cup \{0\}$ sú cifry periódy a sgn značí znamienkovú funkciu signum, je racionálne. Číslo $s$ má na začiatku $n-1$ núl a potom periódu s $m$ ciframi, ktorá sa opakuje do nekonečna. Označme formálne číslo ${\text{abc}}\dots$ vytvorené $m$ ciframi periódy ako ${\mathcal {P}}$, potom môžeme číslo $s$ zapísať ako

$s={\frac {\mathcal {P}}{10^{n-1+m}}}+{\frac {\mathcal {P}}{10^{n-1+2m}}}+{\frac {\mathcal {P}}{10^{n+3m}}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\mathcal {P}}{10^{n-1}}}{\frac {1}{10^{k(m+1)}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\mathcal {P}}{10^{n-1+m}}}{\frac {1}{10^{km}}}$,

čo je súčet nekonečnej geometrickej postupnosti s kvocientom $q={\frac {1}{10^{m}}}$. Keďže $m>0$ (číslo je periodické), tak $q<1$ a daný rad konverguje. Počiatočná hodnota radu ${\frac {\mathcal {P}}{10^{n-1+m}}}$ je racionálna, kvocient je racionálny, teda aj súčet radu ${\frac {\mathcal {P}}{10^{n-1+m}}}{\frac {1}{1-10^{-m}}}$ je racionálny (keďže podiel dvoch racionálnych čísel je racionálne číslo). Dokázali sme teda, že číslo $s$ je racionálne, a teda aj súčet dvoch racionálnych čísel

$p=r+s$

je číslo racionálne.

Konkrétny príklad

Zapíšme číslo $p=-1,130{\overline {12}}$ ako zlomok.

Rozďeľme si dané číslo na súčet $r+s$, pričom $r=-1,130$ a $s=-0,000{\overline {12}}$. Číslo $s$ môžeme zapísať ako

$-s={\frac {12}{10^{3+2}}}+{\frac {12}{10^{3+4}}}+{\frac {12}{10^{3+6}}}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {12}{10^{5}}}10^{-2k}={\frac {1}{8250}}$.

Číslo $s$ je teda racionálne. Jeho zlomkové vyjadrenie sme mohli dostať aj pomocou vzorca, ktorý sme odvodili v dôkaze. Je zrejmé, že $n=4$ (na štvrtom desatinnom mieste sa začínajú čísla opakovať), $m=2$ (perióda je tvorená dvomi ciframi), ${\mathcal {P}}=12$ (číslo formálne zložené z cifier periódy). Po dosadení do vzorca z dôkazu taktiež dostávame rovnaký zlomok.

Číslo $p$ teda môžeme zapísať ako

$p=r+s=-1,130-{\frac {1}{8250}}=-{\frac {1130}{1000}}-{\frac {1}{8250}}=-{\frac {18647}{16500}}$.

Pozri aj

• Geometrická postupnosť
• Nekonečný rad

Iné projekty

Matematický portál

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Geometrický rad