Homomorfizmus (algebra)

Homomorfizmus alebo homomorfné zobrazenie je zobrazenie z jednej algebrickej štruktúry do inej rovnakého typu, ktoré zachováva všetku relevantnú štruktúru.

Formálne je to teda zobrazenie $\phi :A\rightarrow B$ medzi dvomi algebrickými štruktúrami rovnakého typu také, že pre každú definovanú operáciu $f$ a pre všetky $x_{i}$ v $A$ platí

$\phi (f_{A}(x_{1},\ldots ,x_{n}))=f_{B}(\phi (x_{1}),\ldots ,\phi (x_{n}))$

Každá algebrická štruktúra má svoj typ homomorfizmu:

• homomorfizmus grúp (všeobecnejšie homomorfizmus grupoidov)
• homomorfizmus okruhov
• homomorfizmus telies
• homomorfizmus algebier
• homomorfizmus vektorových priestorov = lineárne zobrazenie

Druhy homomorfizmov

Existujú tieto druhy homomorfizmov:

• izomorfizmus je bijektívny homomorfizmus (prostý a na)
• epimorfizmus je surjektívny homomorfizmus (na)
• monomorfismus je injektívny homomorfizmus (prostý)
• endomorfizmus je homomorfizmus z objektu do seba samého
• automorfizmus je endomorfizmus, ktorý je aj izomorfizmom

Jadro homomorfizmu

Každý homomorfizmus $f:X\rightarrow Y$ definuje ekvivalenciu $\sim$ tak, že $x\sim y$ práve vtedy, keď $f(x)=f(y)$. Ekvivalencia $\sim$ sa nazýva jadro $f$. Faktormnožine $X/\sim$ môže byť daná prirodzená štruktúra, čiže $[x]\circ [y]=[x\circ y]$. V tomto prípade je obraz $X$ homomorfizmu $f$ v $Y$ nutne izomorfný $X/\sim$.

Externé odkazy

• Homomorfizmy, izomorfizmy