Iversonove zátvorky

V matematike sú Iversonove zátvorky, pomenované podľa informatika Kennetha. E. Iversona, spôsob notácie, ktorý zovšeobecňuje Kroneckerovu deltu. Táto funkcia zobrazuje akýkoľvek výrok na hodnoty 0 alebo 1. Štandardne sú Iversonove zátvorky označované hranatými zátvorkami $[{\text{ }}\cdot {\text{ }}]$ a definované sú pre výrokové tvrdenie nasledovne:

$[P]={\begin{cases}1&{\text{ak }}P{\text{ je pravdivé;}}\\0&{\text{ak }}P{\text{ je nepravdivé.}}\end{cases}}$

Iversenove zátvorky umožňujú zápis sumácie bez obmedzenia na sčítací index. Presnejšie, pre ľubovoľný výrok $P(k)$ závislí od celého čísla $k$ sa suma $\sum _{k:P(k)}f(k)$ môže zapísať ako $\sum _{k}f(k)\cdot [P(k)]$. V tejto konvencii nemusí byť $f(k)$ definované pre všetky celé čísla $k$ kde sa Iversonova zátvorka rovná nule. Výraz $f(k)[{\textbf {nepravda}}]$ musí byť rovný nule, bez ohľadu na to, či je pre dané $k$ výraz $f(k)$ definovaný alebo nie.

Vlastnosti

Medzi aritmetikou s Iversonovými zátvorkami, logikou a množinovými operáciami existuje priamy súvis. Nech $A{\text{ a }}B$ sú množiny, $P(k_{1},\dots )$ ľubovoľná vlastnosť celých čísel, potom máme

${\displaystyle {\begin{aligned}[][\,P\land Q\,]~&=~[\,P\,]\,[\,Q\,]~~;\\[1em][\,P\lor Q\,]~&=~[\,P\,]\;+\;[\,Q\,]\;-\;[\,P\,]\,[\,Q\,]~~;\\[1em][\,\neg \,P\,]~&=~1-[\,P\,]~~;\\[1em][\,k\in A\,]\;+\;[\,k\in B\,]~&=~[\,k\in A\cup B\,]\;+\;[\,k\in A\cap B\,]~~;\\[1em][\,x\in A\cap B\,]~&=~[\,x\in A\,]\,[\,x\in B\,]~~;\\[1em][\,\forall \,m\$ :\,P(k,m)\,]~&=~\prod _{m}\,[\,P(k,m)\,]~~;\\[1em][\,\exists \,m\ :\,P(k,m)\,]~&=~\min {\Bigl \{}\;1\,,\,\sum _{m}\,[\,P(k,m)\,]\;{\Bigr \}}=1\;-\;\prod _{m}\,[\,\neg \,P(k,m)\,]~~;\\[1em]\#{\Bigl \{}\;m\,{\Big |}\,P(k,m)\;{\Bigr \}}~&=~\sum _{m}\,[\,P(k,m)\,]~~.\end{aligned}}}

Príklady použitia

Notácia umožňuje algebrickú manipuláciu súm s rôznymi hodnotami sumačného indexu.

Algebrická manipulácia súm

Známe pravidlo ${\textstyle \sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{j}f(j,k)=\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=k}^{n}f(j,k)}$ triviálne odvodíme:

${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}\,\sum _{k=1}^{j}f(j,k)&=\sum _{j,k}f(j,k)\,[1\leq j\leq n]\,[1\leq k\leq j]\\&=\sum _{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq j\leq n]\\&=\sum _{j,k}f(j,k)\,[1\leq k\leq n]\,[k\leq j\leq n]\\&=\sum _{k=1}^{n}\,\sum _{j=k}^{n}f(j,k).\end{aligned}}$

Mechanicky odvodíme ďalšie notoricky známe pravidlo sumácie:

${\begin{aligned}\sum _{k\in A}f(k)+\sum _{k\in B}f(k)&=\sum _{k}f(k)\,[k\in A]+\sum _{k}f(k)\,[k\in B]\\&=\sum _{k}f(k)\,([k\in A]+[k\in B])\\&=\sum _{k}f(k)\,([k\in A\cup B]+[k\in A\cap B])\\&=\sum _{k\in A\cup B}f(k)\ +\sum _{k\in A\cap B}f(k).\end{aligned}}$

Známe funkcie vyjadrené pomocou Iversonovych zátvoriek

Kroneckerova delta $\delta _{ij}$ je špeciálnym prípadom Iversonovych zátvoriek pre prípad, kde uvažovaným výrokom je rovnosť:

$\delta _{ij}=[i=j].$

Iversonove zátvorky teda môžeme považovať ako zovšeobecnením Kroneckerovej delty.

Heavisideova funkcia, signum a absolútna hodnota môžu byť jednoducho vyjadrené v Iversonovej notácii:

${\begin{aligned}\Theta (x)&=[x\geq 0],\\\operatorname {sgn}(x)&=[x>0]-[x<0],\\|x|&=x([x>0]-[x<0]).\end{aligned}}$

Variácie označenia

Popri štandardnej notácii $[{\text{ }}\cdot {\text{ }}]$ a originálnej notácii $({\text{ }}\cdot {\text{ }})$ sa používa aj verzia hranatých zátvoriek v tabuľovej hrubotlači ⟦ · ⟧.