Jadro (lineárna algebra)

Jadro a obraz lineárneho zobrazenia $L:V\to W$.

V lineárnej algebre sa jadro (nazývané aj nulový priestor) lineárneho zobrazenia $\varphi :V\rightarrow W$ definuje ako množina všetkých vektorov $\mathbf {v} \in V$ ktoré sa zobrazia na nulový vektor $\mathbf {0} \in W$, teda:

${\text{Ker}}(\varphi )=\lbrace \mathbf {v} \in V;\varphi (\mathbf {(} v))=\mathbf {0} \rbrace =\varphi ^{-1}(\mathbf {0} )$.

Označenie jadra lineárneho zobrazenia ako ${\text{Ker}}$ pochádza z anglického slova kernel, čo znamená jadro.

Vlastnosti

Nech $\varphi :V\rightarrow W$ je lineárne zobrazenie medzi vektorovými priestormi nad poľom $K$, potom platia nasledujúce tvrdenia:

• Jadro ${\text{Ker}}(\varphi )$ lineárneho zobrazenia $\varphi$ je uzavreté na sčítanie a skalárne násobenie, teda tvorí lineárny podpriestor definičného oboru $V$ zobrazenia.
• Lineárne zobrazenie $\varphi$ je injektívne práve vety, keď ${\text{Ker}}(\varphi )=\lbrace \mathbf {0} \rbrace$.
• Nech sú vektorové priestory $V,W$ konečnorozmerné, potom platí vzťah medzi dimenziami: ${\text{dim}}\,V={\text{dim}}\,{\text{Ker}}(\varphi )+{\text{dim}}\,{\text{Im}}(\varphi )$, kde ${\text{Im}}(\varphi )$ značí obraz lineárneho zobrazenia $\varphi$. Dimenzia jadra lineárneho zobrazenia sa nazýva nulitná dimenzia (alebo jednoducho nulita). Táto vlastnosť sa niekedy nazýva ako veta o dimenzii a jadra obrazu.

Dôkaz prvého tvrdenia

Zrejme $\mathbf {0} \in \varphi ^{-1}(\mathbf {0} )$, pretože $\varphi$ je lineárne zobrazenie. Stačí už len ukázať, že $\varphi ^{-1}(\mathbf {0} )$ je uzavreté na lineárne kombinácie dvojíc vektorov $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2}\in \varphi ^{-1}(\mathbf {0} )$. Nech $a,b\in K$ sú ľubovoľné skaláry, potom

$\mathbf {0} =a\mathbf {0} +b\mathbf {0} =a\varphi (\mathbf {v} _{1})+b\varphi (\mathbf {v} _{2})=\varphi (a\mathbf {v} _{1}+b\mathbf {v} _{2})$,

čo ale znamená, že $a\mathbf {v} _{1}+b\mathbf {v} _{2}\in \varphi ^{-1}(\mathbf {0} )$.

Dôkaz druhého tvrdenia

Uvažujme, že $\varphi$ je injektívne, tak $\mathbf {0} \in V$ je jediný prvok definičného oboru, ktorý sa zobrazí na $\mathbf {0} \in W$ (z definície injektívneho zobrazenia), teda ${\text{Ker}}(\varphi )=\lbrace {\textbf {0}}\rbrace$.

Naopak, nech $\varphi$ nie je injektívne. Potom existujú dva rôzne vektory $\mathbf {v_{1}} ,\mathbf {v_{2}} \in V$ také, že $\varphi (\mathbf {v} _{1})=\varphi (\mathbf {v} _{2})$, čo znamená, že

$\varphi (\mathbf {v} _{1})-\varphi (\mathbf {v} _{2})=\varphi (\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})=\mathbf {0}$,

teda $\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\in \varphi ^{-1}(\mathbf {0} )$.

Náznak dôkazu tretieho tvrdenia

Tretie tvrdenie sa môže dokázať tak, že bázu vektorového podpriestoru ${\text{Ker}}(\varphi )$ doplníme do bázy priestoru $V$, pričom ukážeme, že nenulové obrazy vektorov bázy $V$ zobrazením $\varphi$ tvoria bázu ${\text{Im}}(\varphi )$. Z toho už je zrejmé, že

${\text{dim}}\,V={\text{dim}}\,{\text{Ker}}(\varphi )+{\text{dim}}\,{\text{Im}}(\varphi )$.

Príklady

Prvý príklad

Majme lineárne zobrazenie ${\displaystyle \varphi$ :\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} dané maticou ${\textbf {A}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}$. Jadro zobrazenia $\varphi$ je riešením homogénnej sústavy rovíc $\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} =0$ t.j:

${\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$.

Toto vieme prepísať na sústavu lineárnich rovníc:

${\begin{cases}x_{1}+2x_{2}+3x_{3}=0\\4x_{1}+5x_{2}+6x_{3}=0\end{cases}}$

Riešením tejto sústavy je ${\text{Ker}}(\varphi )=[(1,-2,1)^{T}]$ , teda jadro je jednorozmerný podpriestor $\mathbb {R} ^{3}$ generovaný vektorom $(1,-2,1)^{T}$, pričom $[\,\cdot \,]$ značí lineárny obal.

Transformácia roviny, daná formulou ${\displaystyle \ell$ :(x,y)^{T}\mapsto (x,x)^{T}} zobrazí y-ovú os do nulového vektora $(0,0)^{T}$.

Druhý príklad

Majme lineárnu transformáciu roviny ${\displaystyle \ell$ :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}} takú, že $(x,y)^{T}\mapsto (x,x)^{T}$. Takúto transformáciu môžeme reprezentovať maticou $\mathbf {L} ={\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}$. Jadro transformácie $\ell$ nájdeme Gaussovou-Jordanovou eliminačnou metódou:

${\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$,

čo znamená, že riešením je $x=0$ a $y=t$, kde $t\in \mathbb {R}$ je parameter. Z toho máme, že ${\text{Ker}}(\ell )=[(0,1)^{T}]=\lbrace (0,t)^{T};t\in \mathbb {R} \rbrace$.