Jednotková číselná sústava

Jednotková číselná sústava, inak nazývaná aj unárna číselná sústava, je nepozičná číselná sústava, ktorá na zápis čísel používa len jeden znak (najčastejšie zvislú čiaru | alebo v strojovom spracovaní číslicu 1) a je definovaná len pre celé kladné čísla väčšie ako nula (${\textstyle x\in \mathbb {N} ,x>0}$). Spôsob zapisovania čísel v tejto číselnej sústave spočíva v opakovaní znaku dovtedy kým nie je dosiahnutý potrebný počet znakov pre vyjadrenie daného čísla. Napríklad

$8=\mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid$.

Jednotková sústava je najstaršia číselná sústava, ktorú ľudstvo pozná a z nej sa postupne vyvinuli ostatné nepozičné a následne pozičné číselné sústavy. Z tohto dôvodu sa niekedy v žargónoch nazýva aj číselnou sústavou doby kamennej.

Vlastnosti

V jednotkovej číselnej sústave sa nedajú vyjadriť desatinné čísla.

Neexistuje v nej znak pre nulu a preto sa nulová hodnota vyjadruje absenciou znaku.

Jedná sa o aditívnu číselnú sústavu pretože ${\textstyle 3_{10}=111_{1}}$, čo vyplýva z faktu, že ${\textstyle 1_{10}+1_{10}+1_{10}=3_{10}}$.

Aritmetické operácie v tejto sústave spočívajú v zreťazovaní (spojovaní) a rozdeľovaní čísel.

• Sčítanie spočíva v zreťazení dvoch čísel. Napríklad: ${\textstyle {\color {green}{1111}}_{1}+{\color {blue}{111}}_{1}={\color {green}{1111}}{\color {blue}{111}}_{1}}$.
• Odčítanie spočíva vo vyškrtnutí takého počtu znakov v menšenci aký počet znakov má menšiteľ. Napríklad: ${\textstyle {\color {green}{111111}}_{1}-{\color {blue}{11}}_{1}={\color {green}{1111{\color {red}{\cancel {\color {green}{11}}}}}}_{1}}$
• Násobenie spočíva v opakovaní potrebného počtu sčítaní ako je uvedené vyššie. Napríklad: ${\textstyle {\color {green}{111}}_{1}\times {\color {blue}{11}}_{1}={\color {green}{111}}_{1}+{\color {green}{111}}_{1}={\color {blue}{11}}_{1}+{\color {blue}{11}}_{1}+{\color {blue}{11}}_{1}}$.
• Delenie spočíva v postupnom vyškrtávaní potrebného počtu znakov (deliteľ) v delencovi podobne ako pri odčítavaní. Napríklad: ${\textstyle {\color {green}{1111111}}_{1}\div {\color {blue}{111}}_{1}\rightarrow \overbrace {\color {red}{\cancel {\color {green}{111}}}} ^{{\color {red}{1}}_{1}}\overbrace {\color {red}{\cancel {\color {green}{111}}}} ^{{\color {red}{1}}_{1}}{\color {green}{1}}_{1}={\color {red}{11}}_{1}{\text{ a zvyšok je }}{\color {red}{1}}_{1}}$. Je tu analógia s operáciou modulo.

Aplikácie

Rôzne spôsoby zápisu čísla 8 tzv. čiarkovou metódou.

V súčasnosti sa jednotková číselná sústava používa pre jej nevýhody len ojedinele a aj to len pri takých činnostiach, ktoré pracujú len s číslami najviac v rádoch desiatok. Najčastejšie sa s ňou dá stretnúť

• V pohostinstvách, kde sa na papierových lístkoch značí pomocou čiarok počet skonzumovaných nápojov alebo pochutín, pre potrebu ich neskoršieho zúčtovania.
• V štatistických prieskumoch, kde sa nepredpokladá práca s veľkými číslami. Napríklad počet návštevníkov nejakej komornejšej kultúrnej akcie, alebo počet automobilov podľa druhov, ktoré prešli nejakou obcou a pod.
• Zaznamenávanie počtu úkonov pri nejakom výrobnom procese alebo počet hubárskych úlovkov podľa druhu húb a pod.

Veľkou nevýhodou je pri väčšom počte záznamov skutočnosť, že je takýto zápis neprehľadný a náročný na konečné spočítanie. Preto sa pri tejto tzv. čiarkovej metóde používajú mnohé pomôcky spočívajúce vo zvýrazňovaní určitého počtu znakov alebo jeho nahradzovanie iným, ľahšie čitateľným znakom. Napríklad

$8_{10}=\mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid \mid ={\cancel {\mid \mid \mid \mid }}\mid \mid \mid$.

Tu už však začína proces vznikania nepozičnej číselnej sústavy akou je napríklad rímska číselná sústava.

Kódovanie čísel v Turingových strojoch

V teórii automatov sa pri kódovaní informácií pre Turingove stroje často používa kódovanie čísel pomocou jednotkovej sústavy. Britský matematik Alan Turing dokázal, že pomocou pomerne jednoduchého formalizmu nazývaného na jeho počesť Turingov stroj sa dajú vykonávať všetky aritmetické výpočty a že Turingov stroj možno považovať za model univerzálneho počítača (možno zostrojiť univerzálny Turingov stroj, ktorý je schopný emulovať činnosť ľubovoľného Turingovho stroja); s jeho pomocou je možné tiež dokázať, že problém zastavenia Turingovho stroja je algoritmicky neriešiteľný.

Unárna sústava ako degenerovaný prípad pozičnej sústavy

Z matematického hľadiska je zaujímavé, že pre zistenie hodnoty zápisu čísla v jednotkovej číselnej sústave je možné principiálne použiť všeobecný vzorec pre výpočet hodnoty zápisu čísla v pozičnej číselnej sústave so základom ${\textstyle b}$, v tomto prípade ${\textstyle b=1}$:

$a_{k}a_{k-1}\dots a_{1}a_{0}=(a_{k}b^{k})+(a_{k-1}b^{k-1})+\dots +(a_{1}b^{1})+(a_{0}b^{0})=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b^{i}$.

Avšak absentuje tu základná vlastnosť pozičných sústav, ktorá hovorí, že hodnota čísla je závislá na jej umiestnení (pozícií) v zápise čísla.

Ďalším zaujímavým vzorcom pracujúcim síce s číslami vyjadrenými v desiatkovej číselnej sústave, ale dokáže „konvertovať“ číslo do jednotkovej číselnej sústavy je

$u={\frac {10^{n}-1}{9}}$ ,

kde ${\textstyle n}$ je číslo v desiatkovej číselnej sústave s obmedzením ${\textstyle n\in \mathbb {N} ,n>0}$ a ${\textstyle u}$ je aj zápis čísla n v jednotkovej číselnej sústave (aj keď ${\textstyle u}$ je číslo v desiatkovej číselnej sústave). Napríklad pre číslo ${\textstyle n=4_{10}}$

$u={\frac {10^{4}-1}{9}}={\frac {10000-1}{9}}={\frac {9999}{9}}=1111$.

Pre inverzný postup platí

$n=\log {(9u+1)}$.

Napríklad:

$n=\log {(9\times 1111+1)}=\log {(9999+1)}=\log {(10000)}=4$.