Keplerov trojuholník

Keplerot trojuholník

Keplerov trojuholník je v geometrii špeciálny pravouhlý trojuholník so stranami v pomere

$1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi \approx 1:1.272:1.618$

kde ${\textstyle \varphi }$ je matematická konštanta zlatý rez, ktorá má hodnotu

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$.

Obsahy štvorcov zostrojených nad stranami takéhoto trojuholníka majú obsahy v pomere

${\displaystyle 1:\varphi$ :\varphi ^{2}\approx 1:1.618:2.618} .

Trojuholník je pomenovaný podľa nemeckého matematika Johannesa Keplera.

Vlastnosti

Dĺžky strán ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ a ${\textstyle c}$ sú harmonický, geometrický a aritmetický priemer dvoch čísel definovaných ako ${\textstyle \varphi \pm 1}$

$\overbrace {\frac {2}{{\frac {1}{\varphi -1}}+{\frac {1}{\varphi +1}}}} ^{\text{harmonický p. }}:\overbrace {((\varphi -1)\times (\varphi +1))^{\frac {1}{2}}} ^{\text{geomerický p.}}:\overbrace {\frac {(\varphi -1)+(\varphi +1)}{2}} ^{\text{aritmetický p.}}$.

Dĺžky strán ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ a ${\textstyle c}$ zodpovedajú prvým trom členom geometrickej postupnosti s kvocientom (pomerom dvoch za sebou idúcich členov) ${\textstyle q={\sqrt {\varphi }}}$ a kde je prvý člen postupnosti ${\textstyle a_{1}=1}$

${\begin{aligned}a_{1}&=1\\a_{2}&=a_{1}\times q\approx 1.272\\a_{3}&=a_{2}\times q\approx 1.618\\\end{aligned}}$.

Obsahy štvorcov zostrojených nad stranami ${\textstyle a}$, ${\textstyle b}$ a ${\textstyle c}$ zodpovedajú prvým trom členom geometrickej postupnosti s kvocientom ${\textstyle q=\varphi }$ a prvým členom ${\textstyle a_{1}=1}$

${\begin{aligned}a_{1}&=1\\a_{2}&=a_{1}\times q\approx 1.618\\a_{3}&=a_{2}\times q\approx 2.618\\\end{aligned}}$.

Zovšeobecnenie

Vlastnosti Keplerovho trojuholníka nadobúdajú všetky pravouhlé trojuholníky pre ktoré pratí pomer strán

$s:s{\sqrt {\varphi }}:s\varphi$

kde ${\textstyle s>0}$.

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Keplerov trojuholník