Kofinál
Kofinál a kofinálnosť limitného ordinálneho čísla je matematický pojem z oblasti teórie množín (ordinálnej aritmetiky). Je to jedna zo základných charakteristík limitných ordinálnych čísel, vyjadruje „mieru prístupnosti horných úrovní ordinálneho čísla“.
Definícia[upraviť | upraviť zdroj]
Pojem kofinálnosti má zmysel definovať len pre limitné ordinálne čísla. Ďalej teda budú označovať ľubovolné ordinálne čísla a budú označovať vždy limitné ordinálne čísla.
Kofinálna podmnožina[upraviť | upraviť zdroj]
Povedzme, že množina je kofinálnou podmnožinou , ak existuje pre každé také , že . Hovoríme tiež, že A je kofinálne s .
Napríklad
- množina je kofinálna podmnožina ordinálu .
- množina je kofinálna podmnožina ordinálu .
- množina je kofinálna podmnožina ordinálu pre každé .
Kofinál a kofinálnosť[upraviť | upraviť zdroj]
Kofinálom limitného ordinálu rozumieme najmenšie ordinálne číslo také, že existuje množina kofinálna s , ktorej ordinálnym typom je (tj. A je -izomorfná s ). Kofinál limitného ordinálneho čísla sa značí .
Kofinálnosťou rozumieme mohutnosť (kardinalitu) . Dá sa ukázať, že pre každé je kardinálne číslo, a teda pojmy kofinál a kofinálnosť splývajú.
Napríklad
- pre každé
Regulárny a singulárny ordinál[upraviť | upraviť zdroj]
Limitné ordinálne číslo, ktoré sa rovná svojej kofinálnosti sa nazýva regulárne. V opačnom prípade (ak je kofinálnosť menšia) sa nazýva singulárne.
Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]
- Pre každé limitné ordinálne číslo platí
- Pre každé limitné ordinálne číslo platí .
- Pre všetky je kardinálne číslo.
Ďalej za predpokladu axiómu výberu:
- Pre každé nekonečné kardinálne číslo platí .