Kofinál

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Kofinál a kofinálnosť limitného ordinálneho čísla je matematický pojem z oblasti teórie množín (ordinálnej aritmetiky). Je to jedna zo základných charakteristík limitných ordinálnych čísel, vyjadruje „mieru prístupnosti horných úrovní ordinálneho čísla“.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Pojem kofinálnosti má zmysel definovať len pre limitné ordinálne čísla. Ďalej teda budú označovať ľubovolné ordinálne čísla a budú označovať vždy limitné ordinálne čísla.

Kofinálna podmnožina[upraviť | upraviť zdroj]

Povedzme, že množina je kofinálnou podmnožinou , ak existuje pre každé také , že . Hovoríme tiež, že A je kofinálne s .

Napríklad

  • množina je kofinálna podmnožina ordinálu .
  • množina je kofinálna podmnožina ordinálu .
  • množina je kofinálna podmnožina ordinálu pre každé .

Kofinál a kofinálnosť[upraviť | upraviť zdroj]

Kofinálom limitného ordinálu rozumieme najmenšie ordinálne číslo také, že existuje množina kofinálna s , ktorej ordinálnym typom je (tj. A je -izomorfná s ). Kofinál limitného ordinálneho čísla sa značí .

Kofinálnosťou rozumieme mohutnosť (kardinalitu) . Dá sa ukázať, že pre každé je kardinálne číslo, a teda pojmy kofinál a kofinálnosť splývajú.

Napríklad

  • pre každé

Regulárny a singulárny ordinál[upraviť | upraviť zdroj]

Limitné ordinálne číslo, ktoré sa rovná svojej kofinálnosti sa nazýva regulárne. V opačnom prípade (ak je kofinálnosť menšia) sa nazýva singulárne.

Vlastnosti[upraviť | upraviť zdroj]

  • Pre každé limitné ordinálne číslo platí
  • Pre každé limitné ordinálne číslo platí .
  • Pre všetky je kardinálne číslo.

Ďalej za predpokladu axiómu výberu:

  • Pre každé nekonečné kardinálne číslo platí .

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]