Konvexná funkcia

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie
Graf funkcie konvexnej na intervale konvexnosti leží pod spojnicou krajných bodov tohto intervalu

Spojitá konvexná funkcia na intervale , je význačná tým, že jej graf leží nad každou jej zostrojenou dotyčnicou. Jednoduchou a názornou pomôckou môže byť predstava grafu konvexnej funkcie na ako šálky, do ktorej možno naliať kávu. Opačný prípad tvorí konkávna funkcia. Samotná definícia je analyticky odvodená z vlastností funkčných hodnôt konvexnej funkcie vzhľadom na spojnicu krajných bodov intervalu konvexnosti. Možno povedať, že funkčné hodnoty konvexnej funkcie sú na intervale konvexnosti vždy pod spojnicou spomínaných krajných bodov.

Definícia[upraviť | upraviť zdroj]

Konkávna časť funkcie je vyznačená namodro. Graf na tomto intervale leží pod dotyčnicou. Zvyšná červená krivka označuje konvexnú časť a jej graf leží nad dotyčnicou

Definíciu konvexnosti funkcie možno rozdeliť na definíciu konvexnosti funkcie a špeciálneho prípadu – rýdzej konvexnosti funkcie. Väčšinu elementárnych funkcií možno však považovať za rýdzo konkávne respektíve rýdzo konvexné. Príkladom môžu byť polynómy.

Definícia rýdzo konvexnej funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Nech f je funkcia spojitá na intervale . Potom hovoríme, že funkcia f je na intervale rýdzo konvexná práve vtedy, keď pre všetky čísla platí:

Definícia konvexnej funkcie[upraviť | upraviť zdroj]

Nech f je funkcia spojitá na intervale . Potom hovoríme, že funkcia f je na intervale konvexná práve vtedy, keď pre všetky čísla platí:

Intervaly konvexnosti[upraviť | upraviť zdroj]

Pri hľadaní intervalov, na ktorých je funkcia konvexná sa postupuje použitím druhej derivácie funkcie. Intervaly konvexnosti a konkávnosti funkcie delia inflexné body. V týchto bodoch funkcia mení zakrivenie. Funkcia je preto rýdzo konvexná na intervale, kde . Analogicky sa odvodí pravidlo pre interval konvexnej funkcie . Daná derivácia musí existovať. To, že funkcia je diferencovateľná nevyplýva priamo z podmienky spojitosti skúmanej funkcie, preto treba pridať podmienku diferencovateľnosti.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]