Kosínusová veta

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

V trigonometrii sa kosínusová veta používa na výpočet dĺžky strany, pričom poznáme veľkosť uhla ležiaceho oproti strane a dĺžku zvyšných dvoch strán (ktoré zvierajú tento uhol).

Kosínusová veta má tri základné varianty:

Dôkaz[upraviť | upraviť zdroj]

Trojuholník

Nech v trojuholníku ABC päta výšky na stranu c rozdeľuje stranu c na dve časti:

Potom v trojuholníku AC0C platí Pytagorova veta:

Obdobne v trojuholníku BC0C platí Pytagorova veta:

Keďže strana c sa skladá z častí x a y, môžeme y vyjadriť ako y = c - x a teda y² = c² - 2cx + x². V trojuholníku AC0C platí, že kosínus α je rovný pomeru strán x ku b. Z tohto vzťahu si teda môžeme vyjadriť x ako .

Na základe predchádzajúcich výpočtov vieme, že platí nasledujúca rovnosť:

Analogickým spôsobom môžeme dokázať aj zvyšné tvary kosínusovej vety.

Pozri aj[upraviť | upraviť zdroj]