Kosínusová veta

V trigonometrii sa kosínusová veta používa na výpočet dĺžky strany, pričom poznáme veľkosť uhla ležiaceho oproti strane a dĺžku zvyšných dvoch strán (ktoré zvierajú tento uhol).

Kosínusová veta má tri základné varianty:

• $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$
• $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta$
• $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma$

Dôkaz

Trojuholník

Nech v trojuholníku ABC päta výšky na stranu c rozdeľuje stranu c na dve časti:

• $x=|AC_{0}|$
• $y=|C_{0}B|$
• $v_{c}=|CC_{0}|$

Potom v trojuholníku AC₀C platí Pytagorova veta:

$b^{2}=v_{c}^{2}+x^{2}$

$v_{c}^{2}=b^{2}-x^{2}$

Obdobne v trojuholníku BC₀C platí Pytagorova veta:

$a^{2}=v_{c}^{2}+y^{2}$

$v_{c}^{2}=a^{2}-y^{2}$

Keďže strana c sa skladá z častí x a y, môžeme y vyjadriť ako y = c - x a teda y² = c² - 2cx + x². V trojuholníku AC₀C platí, že kosínus α je rovný pomeru strán x ku b. Z tohto vzťahu si teda môžeme vyjadriť x ako $x=b\cdot \cos \alpha$.

Na základe predchádzajúcich výpočtov vieme, že platí nasledujúca rovnosť:

$v_{c}^{2}=v_{c}^{2}$

$b^{2}-x^{2}=a^{2}-y^{2}$

$b^{2}-x^{2}=a^{2}-c^{2}+2cx-x^{2}$

$b^{2}=a^{2}-c^{2}+2cx$

$b^{2}=a^{2}-c^{2}+2bc\cdot \cos \alpha$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$

Analogickým spôsobom môžeme dokázať aj zvyšné tvary kosínusovej vety.

Pozri aj

• Sínusová veta
• Tangensová veta
• Pytagorova veta
• Herónov vzorec
• Trigonometria

Externé odkazy

• Kosínusová veta