Kroneckerova delta

Kroneckerova delta alebo Kroneckerov symbol (pomenovaná podľa Leopolda Kroneckera) je funkcia dvoch premenných, zvyčajne prirodzených čísel. Hodnota funkcie je 1, ak sú premenné totožné a 0, ináč:

$\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{ak }}i\neq j,\\1&{\text{ak }}i=j.\end{cases}}$

Alebo použitím Iversonovej notácie:

$\delta _{ij}=[i=j].$

Kroneckerova delta sa prirodzene objavuje v mnohých oblastiach matematiky, fyziky, inžinierstva a informatiky.

Vlastnosti

Nasledujúce rovnosti sú splnené:

${\begin{aligned}\sum _{j}\delta _{ij}a_{j}&=a_{i},\\\sum _{i}a_{i}\delta _{ij}&=a_{j},\\\sum _{k}\delta _{ik}\delta _{kj}&=\delta _{ij}.\end{aligned}}$

Vďaka týmto formulám a faktu, že prvky $n\times n$ jednotkovej matice ${\overline {\textbf {I}}}$ môžeme stotožniť s Kroneckerovou deltou ($I_{ij}=\delta _{ij}$), môžeme považovať ${\overline {\delta }}$ za jednotkovú maticu.

V $n$-rozmernom Euklidovskom priestore môžeme zapísať štandardný skalárny súčin ako

$<\mathbf {a} ,\mathbf {b} >=\sum _{k,l}a_{k}\delta _{kl}b_{l}=\sum _{k}a_{k}b_{k}$,

alebo využitím Einsteinovej sumačnej konvencie

$<\mathbf {a} ,\mathbf {b} >=a_{k}b_{k}$.

Zovšeobecnenie

Kroneckerova delta je považovaná ako tenzor druhu $(1,1)$. Kroneckerov tenzor môže byť zapísaný ako $\delta _{j}^{i}$ s kovariantným indexom $j$ a kontravariantným indexom $i$:

$\delta _{j}^{i}={\begin{cases}0&(i\neq j),\\1&(i=j).\end{cases}}$

Iversonove zátvorky sú zovšeobecnením Kroneckerovej delty, pričom Kroneckerova delta je špeciálnym prípadom, kde podmienkou je rovnosť:

$\delta _{ij}=[i=j].$