Magický štvorec

z Wikipédie, slobodnej encyklopédie
Prejsť na: navigácia, hľadanie

Magický štvorec je štvorcová tabuľka typu , ktorá obsahuje v každom poli prirodzené číslo pričom súčet čísel v každom stĺpci, v každom riadku a v každej uhlopriečke je rovnaký a žiadne dve čísla nie sú rovnaké. V tradičných magických štvorcoch sú čísla navyše z rozsahu a súčet je rovný .

Konštanta, ktorá je súčtom každého riadku, stĺpca a uhlopriečky sa nazýva magická konštanta.[1]

Identické magické štvorce[upraviť | upraviť zdroj]

Každý magický štvorec možno otáčať, čím je možné vytvoriť 8 nových magických štvorcov (4 otočením podľa stredu súmernosti, 2 otočením okolo diagonál a 2 okolo osí súmernosti prechádzajúcich stredmi protiľahlých strán). Týchto 8 magických štvorcov je považovaných za rovnocenné a hovoríme, že tvoria jednu triedu ekvivalencie.

Počet rôznych tradičných magických štvorcov[upraviť | upraviť zdroj]

Magické štvorce existujú pre každé prirodzené číslo n okrem čísla 2. Počet riešení s rastúcim n prudko narastá. Pre číslo 1 ide o triviálny magický štvorec. Pre n=3 existuje jediná trieda ekvivalencie magických štvorcov. Pre n=4 ich je 880. Pre n=5 ich je 275305224. Už pre n=6 sa zatiaľ nepodarilo spočítať počet tried ekvivalencie, je stanovený iba odhadom na (1.7745 ± 0.0016) × 1019 [2][3][4]

Doteraz je nevyriešeným matematickým problémom, koľko existuje tradičných magických štvorcov pre ľubovoľné číslo n.

Pripočítaním nejakej konštanty ku každému číslu existujúceho magického štvorca, získame nový magický štvorec s inou magickou konštantou. V tomto slova zmysle je magických štvorcov nekonečne veľa.

Prvočíselné magické štvorce[upraviť | upraviť zdroj]

Zvláštnym prípadom magických štvorcov sú magické štvorce, v ktorých všetky čísla sú prvočísla. Jeden z takýchto štvorcov zostrojil Rudolf Ondrejka:

17 89 71
113 59 5
47 29 101

História[upraviť | upraviť zdroj]

Obrázok č. 1

Už od staroveku prejavovali matematici záujem o tvorbu magických štvorcov. Pravdepodobne prvý magický štvorec, ktorý bol vytvorený je znázornený na obrázku č. 1. Jeho pôvod je zahalený v mystických legendách starovekej Číny. Tento magický štvorec sa popisuje v legendách o Luo Shu okolo roku 650 p.n.l.

Magické štvorce a astrológia[upraviť | upraviť zdroj]

Magickým štvorcom sa prisudzovali mystické vlastnosti. Astrológovia nasledujúce magické štvorce priradili jednotlivým nebeským telesám:[5]


Saturn=15
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Jupiter=34
4 14 15 1
9 7 6 12
5 11 10 8
16 2 3 13
Mars=65
11 24 7 20 3
4 12 25 8 16
17 5 13 21 9
10 18 1 14 22
23 6 19 2 15
Slnko=111
6 32 3 34 35 1
7 11 27 28 8 30
19 14 16 15 23 24
18 20 22 21 17 13
25 29 10 9 26 12
36 5 33 4 2 31
Venuša=175
22 47 16 41 10 35 4
5 23 48 17 42 11 29
30 6 24 49 18 36 12
13 31 7 25 43 19 37
38 14 32 1 26 44 20
21 39 8 33 2 27 45
46 15 40 9 34 3 28
Merkúr=260
8 58 59 5 4 62 63 1
49 15 14 52 53 11 10 56
41 23 22 44 45 19 18 48
32 34 35 29 28 38 39 25
40 26 27 37 36 30 31 33
17 47 46 20 21 43 42 24
9 55 54 12 13 51 50 16
64 2 3 61 60 6 7 57
Mesiac=369
37 78 29 70 21 62 13 54 5
6 38 79 30 71 22 63 14 46
47 7 39 80 31 72 23 55 15
16 48 8 40 81 32 64 24 56
57 17 49 9 41 73 33 65 25
26 58 18 50 1 42 74 34 66
67 27 59 10 51 2 43 75 35
36 68 19 60 11 52 3 44 76
77 28 69 20 61 12 53 4 45

Magický štvorec s operáciou násobenia[upraviť | upraviť zdroj]

Možno zostrojiť aj magické štvorce v ktorých sa namiesto operácie sčítania použije násobenie. Konštrukcia takých štvorcov je jednoduchá. Ak máme obyčajný magický štvorec, vieme ho transformovať na násobkový, keďže pre čísla a, b, c platí:

2a, 2b a 2c, ich násobok je 2a+b+c

Do štvorca dáme teda mocniny s mocniteľmi rovnými pôvodným číslam. Príklady:

M = 32 768
16 512 4
8 32 128
256 2 64


M = 216
2 9 12
36 6 1
3 4 18
M = 6 720
1 6 20 56
40 28 2 3
14 5 24 4
12 8 7 10
M = 6 227 020 800
27 50 66 84 13 2 32
24 52 3 40 54 70 11
56 9 20 44 36 65 6
55 72 91 1 16 36 30
4 24 45 60 77 12 26
10 22 48 39 5 48 63
78 7 8 18 40 33 60

Konštrukcia magických štvorcov[upraviť | upraviť zdroj]

Je dokázané, že pre každé prirodzené číslo n okrem 2 existuje magický štvorec. Existuje niekoľko algoritmov, ako magický štvorec vytvoriť. Magické štvorce z hľadiska konštrukcie možno klasifikovať na tri druhy podľa čísla n, pre každý druh existuje iný algoritmus zostrojenia: sú to nepárne, jednoducho párne (deliteľné 2, nedeliteľné 4) a deliteľné 4.

Metóda zostrojenia magických štvorcov pre n=3[upraviť | upraviť zdroj]

V 19. storočí, Édouard Lucas vymyslel všeobecné vzorce pre magické štvorce 3x3. Postup je v nasledujúcej tabuľke, kde a, b, c sú kladné celé čísla, s týmito vlastnosťami:

0 < a < b < c − a , b ≠ 2a
cb c + (a + b) ca
c − (ab) c c + (ab)
c + a c − (a + b) c + b

Pre všetky magické štvorce 3x3 platí, že majú vyššie uvedené vlastnosti až na symetrie.

Referencie[upraviť | upraviť zdroj]

  1. dmoz.org, [cit. 2016-06-29]. Dostupné online. (angličtina)
  2. Pinn K. and Wieczerkowski C., (1998) "Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo", Int. J. Mod. Phys. C 9 541
  3. "Number of Magic Squares From Parallel Tempering Monte Carlo, arxiv.org, April 9, 1998. Retrieved November 2, 2013.
  4. Magic Square [online]. http://www.mathematische-basteleien.de, 2010, [cit. 2016-09-07]. Dostupné online. (english)
  5. DRURY, Nevill (1992). Dictionary of Mysticism and the Esoteric Traditions. Bridport, Dorset: Prism Press. ISBN 1-85327-075-X.

Iné projekty[upraviť | upraviť zdroj]

Externé odkazy[upraviť | upraviť zdroj]


Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Magic square na anglickej Wikipédii.