Magický štvorec

Magický štvorec je štvorcová tabuľka typu $n\times n$, ktorá obsahuje v každom poli prirodzené číslo pričom súčet čísel v každom stĺpci, v každom riadku a v každej uhlopriečke je rovnaký a žiadne dve čísla nie sú rovnaké. V tradičných magických štvorcoch sú čísla navyše z rozsahu $1$ až $n^{2}$ a súčet je rovný ${\frac {n(n^{2}+1)}{2}}$.

Konštanta, ktorá je súčtom každého riadku, stĺpca a uhlopriečky sa nazýva magická konštanta.

Identické magické štvorce

Každý magický štvorec možno otáčať, čím je možné vytvoriť 8 nových magických štvorcov (4 otočením podľa stredu súmernosti, 2 otočením okolo diagonál a 2 okolo osí súmernosti prechádzajúcich stredmi protiľahlých strán). Týchto 8 magických štvorcov je považovaných za rovnocenné a hovoríme, že tvoria jednu triedu ekvivalencie.

Počet rôznych tradičných magických štvorcov

Magické štvorce existujú pre každé prirodzené číslo n okrem čísla 2. Počet riešení s rastúcim n prudko narastá. Pre číslo 1 ide o triviálny magický štvorec. Pre n=3 existuje jediná trieda ekvivalencie magických štvorcov. Pre n=4 ich je 880. Pre n=5 ich je 275305224. Už pre n=6 sa zatiaľ nepodarilo spočítať počet tried ekvivalencie, je stanovený iba odhadom na (1.7745 ± 0.0016) × 10¹⁹

Doteraz je nevyriešeným matematickým problémom, koľko existuje tradičných magických štvorcov pre ľubovoľné číslo n.

Pripočítaním nejakej konštanty ku každému číslu existujúceho magického štvorca, získame nový magický štvorec s inou magickou konštantou. V tomto slova zmysle je magických štvorcov nekonečne veľa.

Prvočíselné magické štvorce

Zvláštnym prípadom magických štvorcov sú magické štvorce, v ktorých všetky čísla sú prvočísla. Jeden z takýchto štvorcov zostrojil Rudolf Ondrejka:

17	89	71
113	59	5
47	29	101

História

Obrázok č. 1

Už od staroveku prejavovali matematici záujem o tvorbu magických štvorcov. Pravdepodobne prvý magický štvorec, ktorý bol vytvorený je znázornený na obrázku č. 1. Jeho pôvod je zahalený v mystických legendách starovekej Číny. Tento magický štvorec sa popisuje v legendách o Luo Shu okolo roku 650 p.n.l.

Magické štvorce a astrológia

Magickým štvorcom sa prisudzovali mystické vlastnosti. Astrológovia nasledujúce magické štvorce priradili jednotlivým nebeským telesám:

Saturn=15 4 9 2 3 5 7 8 1 6

Jupiter=34 4 14 15 1 9 7 6 12 5 11 10 8 16 2 3 13

Mars=65 11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15

Slnko=111 6 32 3 34 35 1 7 11 27 28 8 30 19 14 16 15 23 24 18 20 22 21 17 13 25 29 10 9 26 12 36 5 33 4 2 31

Venuša=175 22 47 16 41 10 35 4 5 23 48 17 42 11 29 30 6 24 49 18 36 12 13 31 7 25 43 19 37 38 14 32 1 26 44 20 21 39 8 33 2 27 45 46 15 40 9 34 3 28

Merkúr=260 8 58 59 5 4 62 63 1 49 15 14 52 53 11 10 56 41 23 22 44 45 19 18 48 32 34 35 29 28 38 39 25 40 26 27 37 36 30 31 33 17 47 46 20 21 43 42 24 9 55 54 12 13 51 50 16 64 2 3 61 60 6 7 57

Mesiac=369 37 78 29 70 21 62 13 54 5 6 38 79 30 71 22 63 14 46 47 7 39 80 31 72 23 55 15 16 48 8 40 81 32 64 24 56 57 17 49 9 41 73 33 65 25 26 58 18 50 1 42 74 34 66 67 27 59 10 51 2 43 75 35 36 68 19 60 11 52 3 44 76 77 28 69 20 61 12 53 4 45

Magický štvorec s operáciou násobenia

Možno zostrojiť aj magické štvorce v ktorých sa namiesto operácie sčítania použije násobenie. Konštrukcia takých štvorcov je jednoduchá. Ak máme obyčajný magický štvorec, vieme ho transformovať na násobkový, keďže pre čísla a, b, c platí:

2^a, 2^b a 2^c, ich násobok je 2^a+b+c

Do štvorca dáme teda mocniny s mocniteľmi rovnými pôvodným číslam. Príklady:

M = 32 768
16	512	4
8	32	128
256	2	64

M = 216 2 9 12 36 6 1 3 4 18

M = 6 720 1 6 20 56 40 28 2 3 14 5 24 4 12 8 7 10

M = 6 227 020 800 27 50 66 84 13 2 32 24 52 3 40 54 70 11 56 9 20 44 36 65 6 55 72 91 1 16 36 30 4 24 45 60 77 12 26 10 22 48 39 5 48 63 78 7 8 18 40 33 60

Konštrukcia magických štvorcov

Je dokázané, že pre každé prirodzené číslo n okrem 2 existuje magický štvorec. Existuje niekoľko algoritmov, ako magický štvorec vytvoriť. Magické štvorce z hľadiska konštrukcie možno klasifikovať na tri druhy podľa čísla n, pre každý druh existuje iný algoritmus zostrojenia: sú to nepárne, jednoducho párne (deliteľné 2, nedeliteľné 4) a deliteľné 4.

Metóda zostrojenia magických štvorcov pre n=3

V 19. storočí, Édouard Lucas vymyslel všeobecné vzorce pre magické štvorce 3x3. Postup je v nasledujúcej tabuľke, kde a, b, c sú kladné celé čísla, s týmito vlastnosťami:

0 < a < b < c − a , b ≠ 2a

c − b	c + (a + b)	c − a
c − (a − b)	c	c + (a − b)
c + a	c − (a + b)	c + b

Pre všetky magické štvorce 3x3 platí, že majú vyššie uvedené vlastnosti až na symetrie.

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Magický štvorec

Externé odkazy

• Magické štvorce

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Magic square na anglickej Wikipédii.