Násobenie skalárom

Násobenie skalárom je základná operácia v lineárnej algebre, ktorá spočíva v násobení vektora alebo matice reálnym (alebo komplexným) číslom, nazývaným skalár.

Definícia

Ak máme vektor $v={\begin{bmatrix}v_{1},v_{2},...,v_{n}\end{bmatrix}}$ v $n$-rozmernom priestore a skalár $\lambda$, výsledkom násobenia skalárom je nový vektor, kde každá súradnica pôvodného vektora je vynásobená skalárom:

$\lambda v=\lambda {\begin{bmatrix}v_{1},v_{2},...,v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\lambda v_{1},\lambda v_{2},...,\lambda v_{n}\end{bmatrix}}$ Všeobecne platí:

• Ak $\lambda >0$, vektor si zachováva smer.
• Ak $\lambda <0$, vektor sa otočí do opačného smeru.
• Ak $\left\vert \lambda \right\vert >0$, vektor sa predĺži.
• Ak $0<\left\vert \lambda \right\vert <1$, vektor sa skráti.
• Ak $\lambda =0$, výsledkom je nulový vektor.

Príklad

Majme vektor $v={\begin{bmatrix}1,2,3,4\end{bmatrix}}$ a skalár $\lambda =4$. Potom:

$4v=4{\begin{bmatrix}1,2,3,4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\times 1&4\times 2&4\times 3&4\times 4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4,8,12,16\end{bmatrix}}$

Matematický portál